代数学基礎同演習 2015年度秋学期 木曜日1,2時限 日吉33教室

この講義では群にまつわる基本的操作といくつかの性質を説明する。 群および群準同型写像の定義、準同型定理や群の集合への作用 などが前半の重要トピック。 続いて有限群に関するSylowの定理、最後に有限生成アーべル群の 構造定理を説明する。

Books:

Sylowの定理と有限生成アーベル群の構造定理の説明がでているような本を 参考にしてください。
具体的な例や問題がのっているものが勉強もしやすい。たとえば
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　雪江明彦　代数学１　群論入門　日本評論社　
　　　　　　　　　桂　利行　代数学I　群と環　東京大学出版会
　　　　　　　　　松坂和夫　代数系入門　岩波書店
　　　　　　　　　永尾　汎　代数学　朝倉書店　
　　　　　　　　　永尾　汎　群論の基礎　朝倉書店　
　　　　　　　　　堀田良之　代数入門　ー群と加群ー　裳華房

昔から有名でよい勉強になると思われるのは、

　　　　　　　　　ファン デル ヴェルデン　現代代数学　東京図書　
　
講義では説明できないけれど、

　　　　　　　　　原田耕一郎　モンスター　群のひろがり　岩波書店
　　　　　　　　　マーク・ロナン　シンメトリーとモンスター　数学の美を求めて　岩波書店
　　　　　　　　　エドワード・フレンケル　数学の大統一に挑む　文芸春秋

などは面白いと思います。　

Gradings:

配点は期末試験50点，演習成績を50点で評価。 総合100点満点の合計51点以上で合格Ｃとなる。

Attention:

Memo:

• Week 1: 群と群準同型および群同型の定義; 巡回群C2, C3； 正三角形の合同変 換群D3: 演習１
• Week 2: 部分群の定義；部分群Hによる群Gの分割；Lagrangeの定理，Gの 元xの位数； 演習２
• Week 3: Fermat小定理； GのHによる左右コセット分割；正規部分群； 正規部分群HによるGの商群G/H; 演習３
• Week 4: 群Gの共役類分割と類等式；D3の共役類分割と類等式 6=1+3+2; 2面体群の共役類分割と正規部分群； 演習４
• Week 5: 群準同型定理； n次対称群S_nの性質; 演習５
• Week 6: nの分割とS_nの共役類分割；S_3, S_4の共役類分割； 演習６
• Week 7: 群Gの集合Xへの作用；XのG-軌道分割； xの固定化部分群とxの G-軌道； 演習７
• Week 8: 作用ρ: GxX→Xと群準同型φ:G→S(X)の同等性；Cayleyの定理 （任意の有限群は対称群の部分群）；群作用の応用例（SL(2,R)の岩澤分 解）// 位数が1から9までの群; 演習８
• Week 9: 位数8の非アーベル群 D_4とQ_8; #Gの約数を位数にもつ 部分群Hの非存在の例； p|#Gである有限アーベル群Gが位数pの元をもつこ と; 演習９
• Week 10: p^r|#GならばGは位数p^rの部分群を少なくとも一つは含むこ と；p-Sylow部分群；Sylowの定理 演習 １０
• Week 11: 位数21, 15の群の分類： 演習 １１
• Week 12: 有限アーベル群；ユークリッド互除法；中国式剰余定理；有限 生成アーベル群の構造定理； 演習 １２ , 演習
• Week 13: 整係数行列の単因子論を用いた有限生成アーベル群の構造の決 定の仕方; 演習１３
• Week 14: