セミナー

微分幾何・トポロジーセミナー

タイトル	多分割等周定数，エクスパンダー族と有限ケーリーグラフ
開催日時	2013年7月1日 16：30～18:00
主催者
講演者	見村万佐人氏　(東北大学)
場所	慶應義塾大学理工学部　14棟733
内容	有限正則グラフ G の（通常の）等周定数 h_2(G) とは，グラフの頂点集合 V の（空でない）2 分割(A_1,A_2) を動かすとき，|A_iの辺境界| を |A_i| で割った量の i=1,2 での最大値の分割での最小値をとることで定義される．2≦n≦|V| なる整数 n をとるとき，グラフの頂点集合の（空でない）n分割で同様のことを考えることで，G の n 分割等周定数 h_n(G) が定義される．h_n(G) は G のラプラス作用素の第 n 固有値（0 を第 1 固有値とする）λ_n(G) と関連することが知られており，「チーガー型の不等式」と呼ばれている（n=2 のときはAlon--V. Milman の著名な結果, 一般の場合は Lee--Gharan--Trevisan による最近の結果による）． h_n(G) は n について単調非減少だが，一般に h_{n+1}(G) は h_n(G)に比べいくらでも大きくなりうる．藤原耕二は，“グラフ G が連結ケーリーグラフの場合に h_{n+1} と h_nの値の間には非自明な関係があるのではないか”，という問題を提起した．本講演では，この藤原耕二の問題の，講演者による定量的な解決をお話ししたい．講演者の結果から，任意の n≧2 に対し，有限連結ケーリーグラフの列 {G_m}_m において「inf_m h_n(G_m) が正である」ことと「inf_mh_2(G_m) が正である」ことの同値性が従う．また，有限な頂点推移的なグラフ G と n≧2 に対して，「h_n(G) とh_{n+1}(G) の間に（定量的な）ギャップがあるときには G が（nに依る形で記述できる）ある種の対称性をもつ」ことも明らかになった．
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