正五角形の作図法
正五角形の一辺の長さ
ここでは、半径１の円に内接する正五角形の一辺の長さを計算して、正五角形の作図方法を説明します。正五角形の内角は$2\pi/5$ラジアン（72°）であることから、 まず最初に$$a = \cos(2\pi/5)$$を使って一辺の長さを計算します。
右の図に従って３平方の定理を２回利用すると、正五角形の一辺の長さは $$ \sqrt{(1-a)^2 + (\sqrt{1-a^2})^2} = \sqrt{1-2a+a^2 + 1 -a^2} = \sqrt{2-2a} $$ となることが導かれます。
$\cos(2\pi/5)$の計算
次に$\cos(2\pi/5)$の値を求めます。複素数 $\zeta_5 = \cos(2\pi/5) + i \sin(2\pi/5)$は$5$乗すると$1$になることから、 $$ f(X) = X^5-1 = 0 $$ の解となります。$f(X) = (X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1) = 0$であり、$\zeta_5\neq 1$であることから、 $\zeta_5^4+\zeta_5^3+\zeta_5^2+\zeta_5+1=0$が導かれます。 いま、$\zeta^4_5 = \cos(8\pi/5) + i \sin(8\pi/5) = \cos(2\pi/5) - i \sin(2\pi/5)$が成り立つことから、 $$ \zeta_5 + \zeta^4_5 = 2\cos(2\pi/5) $$ が導かれます。$\xi = \zeta_5 + \zeta^4_5$, $\xi' = \zeta^2_5 + \zeta^3_5$と置くと、 \begin{align} \xi+\xi' &= (\zeta_5 + \zeta^4_5) + (\zeta^2_5 + \zeta^3_5) = \zeta_5^4+\zeta_5^3+\zeta_5^2+\zeta_5 =-1 \\ \xi\xi' &= (\zeta_5 + \zeta^4_5) (\zeta^2_5 + \zeta^3_5) = \zeta_5^3+\zeta_5^4+\zeta_5^6+\zeta_5^7= \zeta_5^4+\zeta_5^3+\zeta_5^2+\zeta_5 =-1 \end{align} となります。
