| 非線形解析セミナーの記録（２０１８年度） |
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| 日時 | ３月１６日（土） １３時３０分〜１５時３０分 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ（創想館６階ミーティング１Ａ） |
| 講演者 | 小池 開 氏（慶應・理工） |
| 講演題目 | 1次元圧縮性粘性流体中の質点運動 |
| 講演要旨 | 1次元圧縮性粘性流体中を運動する質点を考え，流体と質点の長時間挙動を調べる．この系について数値計算を行うと，流速 $u$ の $L^{\infty}$-ノルムは $t^{-1/2}$ のオーダーで減衰するが，質点の速度 $V(t)$ は $t^{-3/2}$ のオーダーで減衰することが観察できる．本研究の主定理は解の各点評価を与えるもので，この現象を厳密に説明することができる．証明のポイントは，線形化した 1次元圧縮性Navier-Stokes方程式の基本解に対する各点評価 [T.-P. Liu and Y. Zeng, 1997] をうまく用いることである．講演では主定理と関連研究を紹介し，証明の概要を説明する． |
| 日時 | ３月１６日（土） １０時００分〜１２時００分 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ（創想館６階ミーティング１Ａ） |
| 講演者 | 曽我 幸平 氏（慶應・理工） |
| 講演題目 | Leray-Hopfの弱解の構成に関する新しい試みについて |
| 講演要旨 | 四則演算に基づく初等的な差分法によって，3次元有界領域上の非圧縮性Navier-Stokes方程式に対するLeray-Hopfの弱解を構成する．この方法を通して，非圧縮性Navier-Stokes方程式の時間発展について再考し，差分法がLeray-Hopfの弱解の理解にどのように寄与し得るか述べる． |
| 日時 | ３月１５日（金） １３時３０分〜１５時３０分 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ（創想館６階ミーティング１Ａ） |
| 講演者 | 西田 孝明 氏（京大・名誉教授） |
| 講演題目 | 流体方程式と解の分岐問題 |
| 講演要旨 | 熱対流問題を取上げて，パラメーターの変化によるパターン形成，安定性，その変化などに関する分岐問題を考える．良く解明されていない所なども述べる． |
| 日時 | ３月１５日（金） １０時００分〜１２時００分 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ（創想館６階ミーティング１Ａ） |
| 講演者 | 小池 開 氏（慶應・理工） |
| 講演題目 | 気体中の剛体運動の分子気体力学にもとづいた解析 |
| 講演要旨 | 本講演では，気体中の剛体運動を分子気体力学の観点から調べた研究をいくつか紹介する．すなわち，気体を多数の分子集団とみなし，その統計的な記述を用いて気体と剛体の相互作用を調べる．講演者の結果を紹介しつつ，数学解析や数値計算によって現在知られていることを紹介したい． |
| 日時 | １月１８日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 後藤田 剛 氏（北大・電子研） |
| 講演題目 | Vortex dynamics of measure-valued solutions for the filtered Euler system |
| 講演要旨 | 二次元乱流を特徴付ける性質として非粘性極限における流体のエンストロフィー散逸があり, 非粘性流体方程式であるEuler方程式の散逸性を持つ解が乱流を理解するうえで重要と考えられる. 一方で, 二次元Euler方程式については一意可解性を持つ初期値では解のエンストロフィー散逸が起きないことが証明されており, 散逸性を持つ解の構成にはより正則性の弱い解を考える必要がある. 本研究ではEuler方程式の正則化モデルであるfiltered-Euler方程式を考え, 特に点渦や渦層などの測度値の渦度を持つ弱解に注目した. 本講演では二次元filtered-Euler方程式の測度値解について, 正則化パラメータの極限での二次元Euler方程式の弱解との関係, 渦層解による渦パターン形成(ミシガン大学 Robert Krasny教授との共同研究), また点渦衝突によるエンストロフィー散逸(京都大学 坂上貴之教授との共同研究)の結果についてお話する予定である. |
| 日時 | １２月２１日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 谷 温之 氏（慶應・名誉教授） |
| 講演題目 | Classical Solvability of Radial Viscous Fingering Problems in a Hele-Shaw Cell |
| 講演要旨 | We discuss two-phase radial viscous fingering problem in a Hele-Shaw cell, which is a nonlinear problem with a free boundary for elliptic equations. Unlike the Stefan problem for heat equations Hele-Shaw problem is of hydrodynamic type. In this talk the classical solvability of two-phase Hele-Shaw problem with radial geometry is established by applying the same method as for the Stefan problem and justifying the vanishing the coefficients of the derivative with respect to time in parabolic equations. Included historical survey, present and future problems. |
| 日時 | １１月１６日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 利根川 吉廣 氏（東工大・理） |
| 講演題目 | 幾何学的測度論を使った平均曲率流 |
| 講演要旨 | 時間に依存して動く曲面が平均曲率流であるとは、その曲面の速度が平均曲率に各点各時刻で等しいときである．平均曲率流は曲面の熱方程式のようなもので、時間に関して曲面積を減少させる勾配流となっている．その変分構造を用いて特異点を持つ曲面についても定義でき、等高面法など様々な定式化があるが、その中でも幾何学的測度論を用いたBrakkeによる定式化は（極小曲面の場合には知られている）一般的な正則性理論があるなど、興味深い点が多い．一般に滑らかとは限らない超曲面的な閉集合（例えば一次元の場合はネットワーク状の集合等）を与えたとき、それを初期データにもつ平均曲率流の時間大域解存在は長年不明であったが、それを2015年に示すことができた．講演ではその解の構成法について概要を述べ、特にその構成法から成り立つ解の性質について説明する． |
| 日時 | １１月２日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 川島 秀一 氏（早大・理工） |
| 講演題目 | Mathematical analysis for a model system of viscoelastic fluids |
| 講演要旨 | 複雑流体と呼ばれる流体のモデルとして、圧縮性粘弾性流体のモデル方程式系を考察する。これは通常の流体方程式系において、応力テンソルを与える構成則を形状テンソル（configuration tensor）で記述し、さらにその形状テンソルが変形テンソルに依存して時間発展するモデルであり、数学的には緩和的双曲型方程式系に分類されるものである。この系に対して、川島・Yong (2004, 2009) の数学解析の一般論が適用可能かを検証する。すなわち、数学的エントロピーが存在するか、安定性条件を満たすかを調べる。特に、空間１次元系に対しては詳細な結果を与えたい。また、空間３次元系に対する安定性条件についても言及したい。この数学モデルの構築に関する問題や、今後の研究課題についても言及したい。 |
| 日時 | １０月２４日（水） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３４（創想館７階ミーティング４） |
| 講演者 | 高田 滋 氏（京大・工） |
| 講演題目 | Kinetic theory for a simple modeling of phase transition |
| 講演要旨 | A simple kinetic model, which is presumably minimum, for the phase transition of the van der Waals fluid is presented. In the model, intermolecular collisions for a dense gas has not been treated faithfully. Instead, the expected interactions as the non-ideal gas effect are confined in a self-consistent force term. Collision term plays just a role of thermal bath. Accordingly, it conserves neither momentum nor energy, even globally. It is demonstrated that (i) by a natural separation of the mean-field self-consistent potential, the potential for the non-ideal gas effect is determined from the equation of state for the van der Waals fluid, with the aid of the balance equation of momentum, (ii) a functional which monotonically decreases in time is identified by the H theorem and is found to have a close relation to the Helmholtz free energy in thermodynamics, and (iii) the Cahn--Hilliard-type equation is obtained in the continuum limit of the present kinetic model. Numerical simulations have also been carried out for both the Cahn--Hilliard-type equation and the kinetic equation to demonstrate the occurrence of phase transition from unstable uniform equilibrium states. The present talk is based on the references below.
[1] S. Takata and T. Noguchi, J. Stat. Phys., Vol. 172, 880 (2018) [2] S. Takata, T. Matsumoto, A. Hirahara, and M. Hattori, arxiv:1807.04630 |
| 日時 | ７月２０日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 井口 達雄 氏（慶應・理工） |
| 講演題目 | Initial value problem to a shallow water model with a floating solid body |
| 講演要旨 | In this talk we are concerned with the well-posedness of the initial value problem to a shallow water model for two-dimensional water waves with a floating solid body. We consider three cases: the body is fixed, the motion of the body is prescribed, and the body moves freely according to Newton's laws. The difficulty of the analysis comes from the fact that we have to treat the contact points, where the water, the air, and the solid body meet. This model yields a new type of free boundary problems for a quasilinear hyperbolic system. We will report that the initial value problem to this model is in fact well-posed. This result is based on the joint research with David Lannes at University of Bordeaux. |
| 日時 | ７月１１日（水） １７時１５分〜１８時１５分 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ/Ｂ（創想館６階ミーティング１Ａ/１Ｂ） |
| 講演者 | Professor Mark Groves (University of Saarlandes) |
| 講演題目 | Small-amplitude static periodic patterns at a fluid-ferrofluid interface |
| 講演要旨 | We establish the existence of static doubly periodic patterns (in particular rolls, squares and hexagons) on the free surface of a ferrofluid near onset of the Rosensweig instability, assuming a general (nonlinear) magnetisation law. A novel formulation of the ferrohydrostatic equations in terms of Dirichlet-Neumann operators for nonlinear elliptic boundary-value problems is presented. We demonstrate the analyticity of these operators in suitable function spaces and solve the ferrohydrostatic problem using an analytic version of Crandall-Rabinowitz local bifurcation theory. Criteria are derived for the bifurcations to be sub-, super- or transcritical with respect to a dimensionless physical parameter. |
| 日時 | ７月１１日（水） １６時〜１７時００分 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ/Ｂ（創想館６階ミーティング１Ａ/１Ｂ） |
| 講演者 | Professor Snorre Christiansen (University of Oslo) |
| 講演題目 | A justification of the definition of curvature in Regge Calculus |
| 講演要旨 | Regge calculus was introduced in 1961 as a coordinate free and discrete analogue of Einstein's theory of gravitation. Yet, in spite of its beautiful geometric features, the bulk of numerical computations in general relativity is, as of today, carried out by other methods, probably because of a lack of understanding of its stability and convergence properties. Surprisingly, Regge defined a curvature of simplicial manifolds, equipped with a piecewise constant metric, with a partial continuity requirement between simplices. I will provide a justification of this definition by a smoothing procedure: the curvature of the smoothened metrics converges to the curvature defined combinatorially by Regge, in the sense of measures, as the smoothing parameter goes to zero. |
| 日時 | ６月２９日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 水町 徹 氏（広島大・総合科学） |
| 講演題目 | On transverse stability of line solitary waves of the Benney-Luke equation |
| 講演要旨 | 空間２次元のBenney-Luke方程式の線状孤立波の横断安定性について講演する。Benney-Luke方程式はKP方程式同様、３次元水面波の長波長近似モデルである。本講演では表面張力の弱い場合に、線状孤立波が線形安定になることを紹介し、線状孤立波の変調を記述するmodulation equationの導出を行う。 |
| 日時 | ６月２２日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | Professor Yue-Jun Peng (University of Clermont Auvergne) |
| 講演題目 | Stability of non-constant equilibrium solutions for Euler-Maxwell systems |
| 講演要旨 | Euler-Maxwell systems are fluid models arising in plasma physics. In both isentropic and non-isentropic cases, such systems admit non-constant steady-state solutions with zero velocity. For the Cauchy problem or the periodic problem with initial data near the steady-states, we show global existence and the convergence of smooth solutions toward these states as the time goes to infinity. In the proof of the above result, we mainly use three techniques to yield energy estimates. These techniques are the choice of symmetrizer of the systems, the existence of anti-symmetric matrices and an induction argument on the order of space-time derivatives of solutions. |
| 日時 | ６月２０日（水） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ/Ｂ（創想館６階ミーティング１Ａ/１Ｂ） |
| 講演者 | Professor Shih-Hsien Yu (National University of Singapore) |
| 講演題目 | Wave motions around a 2-D viscous Burgers' shock profile |
| 講演要旨 | In this talk we introduce the Laplace wave trains to form a basis for the 2-D wave scattering around the 2-D inviscid Burgers' shock wave for the viscous Burgers' profile for a 2-D Burgers' equation. With all those wave trains around the inviscid shock wave, one can construct the wave trains for the problem linearized around the viscous shock profile. After the complete structure of the wave scattering in terms of the Laplace wave train, one can invert the wave train information into a pointwise space-time structure of the Green's function for the problem linearized around the Burgers' shock profile. With the pointwise structure of the Green's function, the nonlinear wave scattering follows. |
| 日時 | ５月３０日（水） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟６３１Ａ/Ｂ（創想館６階ミーティング１Ａ/１Ｂ） |
| 講演者 | Professor David Lannes （University of Bordeaux） |
| 講演題目 | The shoreline problem for the nonlinear shallow water and Green-Naghdi equations |
| 講演要旨 | The nonlinear shallow water equations and the Green-Naghdi equations are the most commonly used models to describe coastal flows. A natural question is therefore to investigate their behavior at the shoreline, i.e. when the water depth vanishes. For the nonlinear shallow water equations, this problem is closely related to the vacuum problem for compressible Euler equations, recently solved by Jang-Masmoudi and Coutand-Shkoller. For the Green-Naghdi equation, the analysis is of a different nature due to the presence of linear and nonlinear dispersive terms. We will show in this talk how to address this problem. This is a joint work with G. Métivier. |
| 日時 | ４月２７日（金） １６時４５分〜 |
| 場所 | １４棟７３３（創想館７階ミーティング３） |
| 講演者 | 生駒 典久 氏（慶應・理工） |
| 講演題目 | 2つの $L^2$ 制約条件を持つ最小化問題の可解性 |
| 講演要旨 | ポテンシャル項を含む連立非線形シュレディンガー方程式系に由来する最小化問題の可解性について考察をする．本講演では，2つの成分の $L^2$ ノルムを制約条件として用い，この系のハミルトニアンの最小元が存在するかどうかについて考察する．この最小化問題の特徴として，制約条件が複数あること，成分関数の劣線形性，(有界な)ポテンシャル関数による空間非斉次性，が挙げられる．このため，対称減少再配分や成分関数の優線形性を直接用いることができず，これらに代わる議論を紹介する．なお，本講演は東京大学の宮本安人氏との共同研究に基づく． |