数学3A (令和2年度 春学期)
講義担当者
教授: 井口達雄
研究室: 矢上キャンパス14棟541
E-mail: iguchi@math.keio.ac.jp
講義室と時間
講義室: 33教室(日吉キャンパス第4校舎B棟3階)
時間: 水曜日1時限(9:00〜10:30)
講義目的と内容
理工学の様々な分野において使用される解析学の基礎を学ぶ.
具体的には,今までに習ってきた実数,数列の極限,連続関数などの定義を見直し,
それらの厳密な定義を与え,高校では直観で済まされていた様々な定理の証明を与える.
また,1変数関数および2変数関数の微分法とその応用について解説する.
講義計画
- 実数の連続性
・ 論理記号,上界,下界,最大元,最小元,上限,下限
・ 上限・下限の特徴付け,実数の公理
- 数列の極限
・ 極限の定義と基本性質,コーシー列
・ 数列の収束判定法,数列の極限の例,ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理
- 連続関数
・ 関数の極限,連続関数の定義と基本性質,最大値・最小値の存在
・ 中間値の定理,逆関数の存在とその連続性,逆三角関数
- 微分法
・ 合成関数と逆関数の微分法,ロルの定理,平均値の定理,ロピタルの定理
・ 高階導関数,ライプニッツの公式,テーラー展開とその応用
- 2変数関数の連続性
・ 平面上の閉集合・開集合,2変数関数の極限と連続性
- 2変数関数の微分法
・ 偏微分,全微分,合成関数の微分法
教科書
この講義用に作成したプリントを使用する.
PDFファイル
(1回目の授業開始時に履修者に配布する.)
演習書
「詳説演習 微分積分学」 蟹江誠夫・桑垣煥・笠原皓司 著 (培風館)
「大学演習 微分積分学」 三村征雄 編 (裳華房)
「解析演習」 杉浦・清水・金子・岡本 著 (東京大学出版会)
参考書
「解析入門」 小平邦彦 著 (岩波書店)
「理工系の微分積分学」 吹田信之・新保経彦 著 (学術図書出版社)
「解析入門 I」 杉浦光夫 著 (東京大学出版会)
「解析概論」 高木貞治 著 (岩波書店)
「微分積分入門」 曽我日出夫 著 (学術図書出版社)
成績評価方法
筆記試験の結果で評価する.さらに,レポートの結果も参考にする.
期末試験(筆記試験)を代替するレポートの内容を主軸とし,授業期間中のレポートの内容およびオンライン講義のアクセス状況を加味しつつ,総合的に評価する.
講義内容の概ね6割以上を理解していることを合格の基準とする.
講義の予定および進行状況
5月 6日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
講義の概要,論理記号と公理,実数の連続性公理
練習問題1
5月13日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
上限・下限の特徴づけ,Archimedesの公理とDedekindの切断,数列の極限1
練習問題2
5月20日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
数列の極限2,数列の極限3,数列の収束判定法
練習問題3
5月27日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
Cauchy列とCauchyの収束判定法,数列の極限:補足,Bolzano--Weierstrassの定理
練習問題4
6月 3日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
関数の極限と連続関数,連続関数の基本的性質,最大値・最小値の存在
練習問題5(レポート提出問題)
6月10日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
中間値の定理,写像・逆写像と逆関数,対数関数と逆三角関数
練習問題6
6月17日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
微分係数と導関数,合成関数・逆関数の微分法,Rolleの定値と平均値の定理
練習問題7
6月24日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
l'Hopitalの定理,高階導関数,Taylorの定理
練習問題8
7月 1日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
Landauの記号,Taylor展開,Maclaurin展開
練習問題9(レポート提出問題)
7月 8日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
2変数関数の連続性,偏微分,および全微分
練習問題10
7月15日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
合成関数の微分法,座標変換による微分作用素の変換
練習問題11
7月22日 オンライン授業(keio.jp 授業支援の「お知らせ」を確認のこと)
2変数関数のTaylor展開,2変数関数の極値問題
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更新日: 2020年7月9日