14.3:決定的因果作要素列のシュレーディンガー描像

定義14.4 [状態は動く --- シュレーディンガー描像]

$[{}{\mathsf O}_{T(t_0)}]$ ${{=}}$ $[{}\{ {\mathsf O}^{}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${L^\infty (\Omega_{t_2}, \nu_{t_2})}$ $ \to {L^\infty (\Omega_{t_1}, \nu_{t_1})} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$ を 決定的因果観測量列 とする． $\phi_{t_1,t_2 }:\Omega_{t_1} \to \Omega_{t_2}$ $(\forall {(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}} )$ をその決定的因果写像とする． $\omega_{t_0} \in \Omega_{t_0}$ とする． このとき， $\{ \phi_{t_0,t} (\omega_{t_0} ) \}_{t \in T }$ を， ( 初期状態$\omega_{t_0} (\in \Omega_{t_0})$における) 状態変化のシュレーディンガー描像 と呼ぶ．

において， $\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${L^\infty (\Omega_{t_2})} \to {L^\infty (\Omega_{t_1})} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ が決定的因果作用素列ならば， 次が成立する：

定理 14.6 \begin{align*} [{}{\mathsf O}_{T(t_0)}] {{=}} [{}\{ {\mathsf O}^{(e)}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: {L^\infty (\Omega_{t_2}, \nu_{t_2})} \to {L^\infty (\Omega_{t_1}, \nu_{t_1})} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}} ] \end{align*} を 決定的因果精密観測量列とする． $\phi_{t_1,t_2 }:\Omega_{t_1} \to \Omega_{t_2}$ $(\forall {(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}} )$ をその決定的因果写像とする． ${\widehat{\mathsf O}}_{{{T}}}$ ${{=}}$ $({{{\times}}}_{{t} \in {T}}X_{{t}}, $ $\boxtimes_{{t}\in{{T}}} {\cal F}_{{t}},$ ${\widehat F}_{{T}} )$ をその 実現因果観測量 とする． このとき， 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{t_0})} (\widehat{\mathsf O}_{T{}}$ $ {{=}} $ $({{{\times}}}_{t \in T} X_t, \boxtimes_{{t}\in{{T}}} {\cal F}_{{t}} ,$ $ {\widehat F}_0), S_{[\omega_{t_0}]}{})$ により 得られる 測定値 $(x_t )_{t\in T }$ (すなわち， 精密測定値列) は， 確率1で次を満たす: \begin{align*} x_t = \phi_{t_0,t } (\omega_{t_0} ) \qquad (\forall t \in T ) \end{align*} したがって，決定的因果作用素列を考える限りにおいては，

証明 測定値 $(x_t )_{t\in T }$ の性質を調べる． $D=\{t_1,t_2,\ldots,t_n\} (\subseteq T)$ {{を}} $T$の任意の有限部分集合とする． ${\widetilde\Xi}=\mbox{ ${{{\times}}}$}_{t\in {T} }^D\Xi_t$ $=$ $({{{\times}}}_{t\in D} \Xi_t ) \times ({{{\times}}}_{t\in T\setminus D} X_t ) $ とおく． ここに $\Xi_t$ は$X_t ( = \Omega_t)$ 内の任意の開集合で， しかも $\phi_{t_0, t} (\omega_{t_0}) \in \Xi_t$ $(\forall t\in D)$ とする． このとき，

よって, 次の系を得る.

系 14.7 [システム量と精密観測量] 各$t \in T(t_0)$において， $L^\infty(\Omega_t, \nu_t)$ 内の 精密観測量 ${\mathsf O}^{(e)}_t=(X, {\cal F}_t, F^{\rm (e)}) (=(\Omega_t , {\cal B}_t , \chi ) )$ と $\Omega_t$上のシステム量$g_t:\Omega_t \to {\mathbb R}$ を考える． システム量$g_t$の$L^\infty (\Omega_t)$ 内の観測量表示を， ${\mathsf O}'_t = ({\mathbb R}, {\cal B}_{\mathbb R}, G_t)$ とする． 同時観測量を ${\mathsf O}^{(e)}_t \times{\mathsf O}'_t$ を考えて， $[{}{\mathsf O}_{T(t_0)}]$ ${{=}}$ $[{}\{ {\mathsf O}^{(e)}_t \times{\mathsf O}'_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${L^\infty (\Omega_{t_2}, \nu_{t_2})} \to {L^\infty (\Omega_{t_1}, \nu_{t_1})} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $]$ を 決定的因果観測量列とする． $\phi_{t_1,t_2 }:\Omega_{t_1} \to \Omega_{t_2}$ $(\forall {(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}} )$ をその決定的因果写像とする． ${\widehat{\mathsf O}}_{{{T}}}$ ${{=}}$ $\bigl({{{\times}}}_{{t} \in {T}}(X_{{t}}\times {\mathbb R}), $ $\boxtimes_{{t}\in{{T}}} ({\cal F}_{{t}}\boxtimes {\cal B}_{\mathbb R}),$ ${\widehat F}_{{T}} \bigr)$ をその 実現因果観測量 とする． このとき， 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{t_0})} (\widehat{\mathsf O}_{T{}},$ $S_{[\omega_{t_0}]}{})$ により 得られる 測定値 $(x_t , y_t)_{t\in T }$ は， 確率1で次を満たす: \begin{align*} x_t = \phi_{{t_0},t } (\omega_{t_0} ) \;\; かつ \;\; y_t = g_t(\phi_{{t_0},t } (\omega_{t_0} )) \qquad (\forall t \in T ) \end{align*}

注意14.8 [なぜニュートン力学には、「測定」が無いのか？] ニュートン力学と量子力学の決定的な違いは、 「測定の有無」で、つまり、

である。定理 14.6(または、系14.7)は、 「ニュートン力学は、測定を必要としない」ことの説明($x_t=\phi_{t_0, t }(\omega_{t_0} )$だから、$x_t$は無くても済ますことができる)になっているわけであるが、 これは表面的な説明である。
アインシュタイン=タゴール会談での アインシュタインの言葉：

ニュートンと「$X$氏」が、アインシュタインの信念$(\sharp_3)$を完全に理解していたことは、 驚くべきことと思う。