4.1.1 コルモゴロフの拡張定理と言語的解釈
(コルモゴルフの)確率論は次の呪文からスタートする:
これからスタートして、試行錯誤の末、コルモゴロフは、「コルモゴロフの拡張定理」
を発見した。 ここで、「コルモゴロフの拡張定理」の精神とは、
$(\sharp_1):$
確率空間$(X, {\mathcal F}, P)$を考える。
このとき、
事象$\Xi ( \in {\mathcal F})$が起こる確率は、
$
P(\Xi)$
で与えられる
であり、これは、言語的解釈 "測定は一回だけ"に対応する。
すなわち,
\begin{align}
\Large{
\overset{\mbox{(基本定理)}}{\underset{\mbox{
(確率空間は一つだけ)}}
{\fbox{確率論}}}
\overset{\mbox{ (対応)}}{\longleftrightarrow}
\overset{\mbox{(言語的解釈)}}{
\underset{\mbox{(測定は一回だけ)}}
{\fbox{量子言語}}}
}
\end{align}
こうなると、
$(\sharp_2):$ ただ一つの確率空間しか許されない
と考えたくなる。
$(\sharp_3):$ コルモゴロフは、
言語的解釈の発見者の一人で、パルメニデス(born around BC. 515)と同じこと、すなわち、
に気づいた
${\widetilde \Lambda}$を任意の集合とする． 各$\lambda \in {\widetilde \Lambda} $ に対して， 集合 $X_\lambda $ を考える． 任意の$\Lambda_{1} \subseteq \Lambda_{2}( \subseteq {\widetilde \Lambda})$に対して, 自然な写像$ \pi_{\Lambda_{1},\Lambda_{2}}: \times_{\lambda\in\Lambda_{2}}X_{\lambda} \longrightarrow \times_{\lambda\in\Lambda_{1}}X_{\lambda} $ を次のように定める。
\begin{align} \times_{\lambda\in\Lambda_{2}}X_{\lambda} \ni (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda_2 } \mapsto (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda_1} \in \times_{\lambda\in\Lambda_{1}}X_{\lambda} \tag{4.1} \end{align}特に、 $\pi_{\Lambda}=\pi_{\Lambda,{\widehat \Lambda}}$と置く. 測定理論版のコルモゴロフの拡張定理(＝観測量・測定の存在定理)である。 これは言語的解釈 ($\S$3.1), i.e., "測定は一回だけ" との関連で最重要である
| $\quad$ | $\Lambda_1 \subseteq \Lambda_2$ を満たす 任意の$\Lambda_1, \Lambda_2$ ($\in$ ${{\cal P}_0}({\widetilde \Lambda})$)に対して， 次が成立する： |
\begin{align} F_{\Lambda_2} ( \pi_{\Lambda_{1},\Lambda_{2}}^{-1}({\Xi}_{\Lambda_1}{}) ) = F_{\Lambda_1} ({\Xi}_{\Lambda_1} ) \quad (\forall {\Xi}_{\Lambda_1} \in \boxtimes_{\lambda\in\Lambda_1} {\cal F}_{\lambda}{}) %% \label{eq4.2} \end{align}
このとき， 次を満たす$\overline{\mathcal A}$ 内の観測量 ${\widehat{\mathsf O}}_{\widetilde{\Lambda}}$ ${{=}}$ $\bigl({{{\times}}}_{\lambda\in{\widetilde \Lambda}}X_{\lambda}, $ $\boxtimes_{\lambda\in{\widetilde \Lambda}} {\cal F}_{\lambda},$ ${\widehat F}_{\widetilde \Lambda} \bigr)$ が唯一存在する: \begin{align} {\widehat F}_{\widetilde \Lambda} \bigl( \pi_{\Lambda,{\widetilde \Lambda}}^{-1}({\Xi}_{\Lambda}{}) \bigr) = F_{\Lambda} \bigl({\Xi}_{\Lambda} \bigr) \quad (\forall {\Xi}_{\Lambda} \in \boxtimes_{\lambda\in\Lambda} {\cal F}_{\lambda},~ \forall\Lambda\in{{\cal P}_0}({\widetilde \Lambda}){}) %%\t \label{eq4.3} \end{align} 証明 は次を見よ.
| $(a):$ | S. Ishikawa, "Mathematical Foundations of measurement theory,"Keio University Press Inc. 2006. ( download free) |
系4.2 [無限同時観測量 ] 基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ を考える．${\widetilde \Lambda}$を任意の集合とする． 各$\lambda\in{\widetilde \Lambda}$に対して, $X_\lambda$ は可分完備距離空間， ${\cal F}_{\lambda}{}$は その ボレル{集合体}とする． 各$\lambda \in {\widetilde \Lambda} $ に対して， $ \overline{\mathcal A} $内の 観測量 ${\mathsf O}_\lambda$ ${{=}}$ $(X_\lambda , {\cal F}_\lambda , F_\lambda{})$ を考える． このとき，同時観測量 $\widehat{\mathsf O}$ ${{=}}$ $({{{\times}}}_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}} X_\lambda , \boxtimes_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}} {\cal F}_\lambda , $ $ {\widehat F} {{=}} {{{\times}}}_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}} F_\lambda {})$ が唯一存在する． すなわち，任意の有限集合$\Lambda_0 (\subseteq {\widetilde \Lambda} )$ に対して，次が成り立つ:
\begin{align} {\widehat F } \big( ({{{\times}}}_{\lambda \in \Lambda_0} \Xi_\lambda) \times ({{{\times}}}_{\lambda \in {\widetilde \Lambda}\setminus \Lambda_0} X_\lambda) \big) = {{{\times}}}_{\lambda \in \Lambda_0} F_\lambda (\Xi_\lambda{}) \qquad (\forall \Xi_\lambda \in {\cal F}_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda_0 ) \tag{4.4} \end{align}証明.定理 4.1の簡単な系である。
注意4.3 [なぜコルモゴロフの拡張定理は基本的なのか？] 確率論という数学の中で,コルモゴロフの拡張定理は最も基本的である.しかし,| $\bullet$ | なぜコルモゴロフの拡張定理は最も基本的なのか？ |
