研究関連

• 主な研究の興味：　整数論, 保型形式論, 保型形式の数論への応用


• 論文
  1. Y. Takai, An effective isomorphy criterion for mod $\ell$ Galois representations, Journal of Number Theory, 131, 1409-1419 (2011) link.
     
     概要：一般に, 与えられた二つの半単純 mod $\ell$ Galois 表現$\rho$と$\rho'$が 同型であるか否かを判定することは簡単ではありません. この論文では, 特別な場合に具体的にどれだけの素数に対する Frobenius 元の特性多項式 の一致を確認することで同型性が言えるのか, を解明しました. ここで特別な場合とは, $\rho$と$\rho'$が共に二次元半単純 mod $\ell$ 表現で いずれかが奇である場合です. つまりは, $\rho$と$\rho'$が共に保型形式からくる場合です.
     証明には Khare-Wintenberger により示された Serre 予想と, Sturm の定理を使います. Serre 予想により Galois 群側の情報を保型形式側に移し, 保型形式の持つ“有限性”の表れである Sturm の定理を使って解決しました.
  
  
  2. Y. Takai, An analogue of Sturm’s theorem for Hilbert modular forms. To appear in Algebra and Number Theory. pdf.
     
     概要：これまで Ono や Kohnen らによる半整数ウエイトの保型形式の数論への 応用は$\mathbb{Q}$上でしか得られておらず, より一般の体に対しては殆ど知られていませんでした. その理由は彼らの基本的な道具である Sturm の定理が, 楕円保型形式の時以外にあまり知られていない からであると考えました. ここで Sturm の定理とは ``mod $\ell$ 正則楕円保型形式の Fourier 係数は最初の有限 個の係数で決定される'' という主張です. そこで私は総実代数体$F$上での Kohnen や Ono らの結果の拡張を 解決するため為に, $F$の正則 Hilbert 保型形式に対して の Sturm の定理の拡張を証明しました.
     本結果の証明の中では多くの数論幾何的事実を用いています. 例えばアーベル多様体のモジュライとしての Hilbert モジュラー多様体の $\mathbb{Z}$ 上のモデルとその minimal コンパクト化 と toroidal コンパクト化, その上に存在する保型線束とその Moret-Bailly による semi-ample 性, そこから ample な線束を構成する方法, そして ample な線束の 交叉数に関する positivity を使っています.
     また, 簡単な系として Hilbert モジュラー形式のなす（$\mathbb{C}$上, $\mathbb{F}_\ell$上）ベクトル空間の次元の重さ, レベルに関する上からの 評価も得られます.


• プレプリント
  1. Y. Takai, Indivisibility of relative class numbers of totally imaginary quadratic extensions and vanishing of these relative Iwasawa invariants. pdf.
     
     この結果は, 重さ半整数の保型形式の Hilbert 保型形式 の整数論への応用としての, $\mathbb{Q}$上 Galois な 有限次総実代数体の上の総虚二次拡大（CM 二次拡大）の相対類数の素 数での非可除性に関する結果です. 主定理の簡単な系として, $\mathbb{Q}$上 Galois な総実代数体$F$と十分大な素数$p$に対して, $p$で割れない相対類数を持つ 総虚二次拡大の個数の下からの評価が得られます. さらに, Friedman の判定法により, 相対類数の非可除性に素数の分解 のコントロールを加味することで, 相対岩澤$\lambda$-, $\mu$-不変量 と呼ばれる$\mathbb{Z}_p$-拡大方向の拡大に関するイデアル類群の構造 を表す値が消滅する CM 二次拡大の個数もある仮定の下で評価できます. 一般の総実代数体に対して, Naito により（ある弱い仮定を満たす）素 数$p$に対して相対類数が$p$で割れない総虚二次拡大が無数にあること, さらに 相対岩澤不変量が消滅性するものが無数にあることについても示されていました. 無数に存在することがわかったら, その評価を得たいと思うのは自然な流れです. しかし Naito による跡公式を使った方法では個数の下からの評価を得るこ とはできないので, その意味でも本結果は強いです. 証明は Kohnen と Ono による$\mathbb{Q}$上の結果と本質的には同じです. ですが, 使用している道具は $\mathbb{Q}$ 上と比べると遥かに複 雑です. 証明には, 重さ半整数の Hilbert モジュラー Eisenstein 級数, その対角への(一変数への)制限, 対角への制限に 関する Sturm の定理と Chebotarev の密度定理を使います.


• プロシーディング, 報告集
  1. Sturm の定理について, 鏡ヶ池の整数論セミナー報告集, 2008, p.57-63 pdf.
  2. Kohnen-Ono の結果について, 鏡ヶ池の整数論セミナー報告集. 2008, p.49-56 pdf. 


• 口頭発表
  1. 「総虚二次拡大の相対類数の非可除性と それらの相対岩澤不変量の消滅」, 香川セミナー, 香川大学, 2013年6月22日
  2. 「総虚二次拡大の相対類数の非可除性とそれらの相対岩澤不変量の消滅について.」, 岩澤理論セミナー, 慶應義塾大学, 2013年5月27日
  3. 「総実数体の総虚二次拡大体の相対類数の非可除性について.」, 日本数学会2013年度年会, 京都大学, 2013年3月
  4. 「Indivisibility of relative class numbers of CM quadratic extensions of totally real Galois number fields.」, Korea-Japan Joint Seminar on Number Theory and Related Topics, Ewha womans university, Korea, 2013年1月
  5. 「CM 体の相対類数の非可除性について.」, 早稲田整数論セミナー, 早稲田大学, 2012年11月
  6. 「CM 体の相対類数の非可除性について.」, 北陸数論セミナー, 金沢大学サテライトプラザ, 2012年7月
  7. 「On Sturm's theorem for modular forms.」, The 3rd Keio-Yonsei Workshop , 慶應義塾大学, 2012年5月
  8. 「An analogue of Sturm's theorem for Hilbert modular forms.」, Japan-Korea Number Theory Seminar, 名古屋大学, 2011年11月
  9. 「An analogue of Sturm's theorem for Hilbert modular forms.」, 第１０回広島仙台整数論研究集会, 広島大学, 2011年7月
  10. 「An analogue of Sturm's theorem for Hilbert modular forms.」, 代数セミナー, 慶應義塾大学, 2011年6月
  11. 「Sturm の定理の Hilbert 保型形式に対する類似.」, 代数学コロキウム, 東京大学, 2011年4月
  12. 「An analogue of Sturm's theorem for Hilbert modular forms.」, 九州代数的整数論2011, 九州大学, 2011年2月
  13. 「An effective isomorphy criterion for mod $\ell$ Galois representations.」, 数論幾何学ワークショップ2010, 沖縄尚学高等学校, 2010年8月
  14. 「An effective isomorphy criterion for mod $\ell$ Galois representations.」, 第９回仙台広島整数論集会, 東北大学, 2010年7月
  15. 「mod $\ell$ Galois 表現の同型性の効果的判定法. 」, 整数論＆保型形式セミナー, 大阪大学, 2010年7月
  16. 「An effective isomorphy criterion for mod $\ell$ Galois representations. 」, 代数セミナー, 慶應義塾大学, 2010年5月
  17. 「An effective isomorphism criterion for mod $\ell$ Galois representations. 」, 日本数学会, 慶應義塾大学, 2010年3月
  18. 「An effective isomorphy criterion for mod $\ell$ Galois representations. 」, 第三回ゼータ若手研究集会, 名古屋大学, 2010年2月
  19. 「An analogy of Sturm's theorem for real quadratic fields. 」, 鏡が池の整数論セミナー, 名古屋大学, 2009年10月
  20. 「An analogy of Sturm's theorem for real quadratic fields. 」, 北陸数論セミナー, 金沢大学サテライトプラザ, 2009年10月
  21. 「An analogy of Sturm's theorem for real quadratic fields. 」, 日本数学会, 大阪大学, 2009年9月
  22. 「Sturm の定理について. 」, 鏡が池の整数論セミナー, 名古屋大学, 2008年10月
  23. 「Kohnen-Ono の結果について. 」, 鏡が池の整数論セミナー, 名古屋大学, 2008年7月