「グループテストの良さ」を表す指標として、 信頼性係数を次のように定義する。


定義17.7[信頼性係数] ${\mathsf O}_\tau := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},F_\tau)$ と ${\mathsf O}_E := (X_{\mathbb R},{\cal F}_{X_{\mathbb R}},E)$を それぞれ $L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)$内の テスト観測量と精密観測量とする。 グループテスト \begin{align*} {\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes := \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_\tau, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i}))) \end{align*} を考える。 このとき、グループテスト${\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes$の 信頼性係数 ${\rm RC} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes]$を次のように定める。 \begin{align*} {\rm RC} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes] = \frac{{\rm Var} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes]}{{\rm Var} [{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes]}. \end{align*}

各$\omega \;(\in \Omega)$に対する測定誤差$\Delta_\omega$を次のように定義するのは自然だろう。 \begin{align} \Delta_\omega := \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\omega)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big)^{1/2} \quad (\forall \omega \in \Omega). \tag{17.9} \end{align} 各学生 $\theta_i \;(\in \Theta)$において、 その実力分布は $ \Phi_\ast(1_{\theta_i}) $ なので、 測定誤差$\Delta_i $ は次のように定義される。 \begin{align} \Delta_i &:= \Big( \int_{X_{\mathbb R}} \Delta_\omega \, [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \Big)^{1/2} \nonumber \\ &= \Big( \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\omega)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \Big)^{1/2} \quad (i=1,2,\dots,n). \tag{17.10} \end{align} したがって、 グループテスト $ {\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes $ の測定誤差$\Delta_g$ は次のように定義される。 \begin{align} \Delta_g &:= \Big( \frac1n \sum_{i=1}^n \Delta_i^2 \Big)^{1/2}. \tag{17.11} \end{align} 以上の準備の下に、次の定理を得る。

定理 17.8 (i: 分散${\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}]$) テスト観測量 ${\mathsf O}_\tau$の測定${\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)} := {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_\tau, S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))$を考える。 このとき、 \begin{align} {\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}] = {\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^{(i)}] + \Delta_i^2. \tag{17.12} \end{align}

(ii: 分散${\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes]$) グループテスト${\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes := \otimes_{\theta_i \in \Theta}{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}$ $= \otimes_{\theta_i \in \Theta} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{\mathbb R},d\omega)}({\mathsf O}_\tau,$ $ S_{[\ast]}(\Phi_\ast(1_{\theta_i})))$ を考える。 このとき、 \begin{align} {\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes] = {\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes] + \Delta_g^2 \tag{17.13} \end{align}

解答 $\mu_i$を分布 $\Phi_\ast(1_{\theta_i})$の平均値とする。 このとき、

\begin{align} &{ Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}] = \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\mu_i)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \\ &= \int_{\Omega_{\mathbb R}} (\omega-\mu_i)^2 \, [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega + \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\omega)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \\ & \quad + \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} 2(x-\omega)(\omega-\mu_i) \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \\ &= { Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^{(i)}] + \Delta_i^2. \end{align} したがって、 ${\rm Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^{(i)}]$のグループ平均は次のように計算できる： \begin{align} { Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_\tau}^\otimes] &= \small{ \int_{\Omega_{\mathbb R}} \cdots \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} \cdots \int_{X_{\mathbb R}} \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\overline\mu)^2 \times_{i=1}^n [F_\tau(dx_i)](\omega_i) \Big) \times_{i=1}^n [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega_i) \, d\omega_i } \\ &= \frac1n \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (\omega-\overline\mu+x-\omega)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \\ &= \frac1n \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_{\mathbb R}} (\omega-\overline\mu)^2 \, [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \\ & \quad + \frac1n \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} (x-\omega)^2 \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \\ & \quad + \frac1n \sum_{i=1}^n \int_{\Omega_{\mathbb R}} \Big( \int_{X_{\mathbb R}} 2(x-\omega)(\omega-\overline\mu) \, [F_\tau(dx)](\omega) \Big) [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega) \, d\omega \\ &= \int_{\Omega_{\mathbb R}} \cdots \int_{\Omega_{\mathbb R}} \frac1n \sum_{i=1}^n (\omega_i-\overline\mu)^2 \times_{i=1}^n [\Phi_\ast(1_{\theta_i})](\omega_i) \, d\omega_i + \frac1n \sum_{i=1}^n \Delta_i^2 \\ &= { Var}[{\mathsf M}_{{\mathsf O}_E}^\otimes] + \Delta_g^2. \end{align}
$\square \quad$