前章の結果 (すなわち， 言語ルール2(因果関係) とフィッシャーの最尤法(定理5.6) から 直ちに次を得る:

定理 13.4 [回帰分析]

木半順序集合を親写像表現 $(T{{=}} \{ t_0,t_1,$ $\ldots,$ $ t_N\} , \pi: T \setminus \{ t_0 \} \to T)$ で表す． 因果観測量列 $[{}\{ {\mathsf O}_t \}_{ t \in T} , \{ \Phi_{\pi(t), t }{}: $ $L^\infty({\Omega}_{t}{})\to L^\infty({\Omega }_{\pi(t)}{}) \}_{ t \in T\setminus \{t_0\} }$ $]$の 実現因果観測量を $\widehat{\mathsf O}_{T{}}$ ${{=}} ( {{{\times}}}_{t \in T} X_t, $ ${\boxtimes_{t \in T} {\cal F}_t}, $ $ {\widehat F}_{t_0})$ として， 測定 \begin{align*} {\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_{t_0})} (\widehat{\mathsf O}_{T{}} {{=}} ( {{{\times}}}_{t \in T} X_t, {\boxtimes_{t \in T} {\cal F}_t}, {\widehat F}_{t_0}), S_{[\ast]}{}) \qquad \end{align*} を考える． この測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_{t_0}{})}(\widehat{\mathsf O}_{T{}}, S_{[*]})$ により得られた測定値が ${\widehat \Xi} \;(\in {\boxtimes_{t \in T} {\cal F}_t} )$ に属したとする． このとき， フィッシャーの最尤法(定理5.6)により， 次が推定できる： \begin{align*} [{}\ast{}] = {\omega_{t_0}} \end{align*} ここで，${\omega_{t_0}} \;(\in \Omega_{t_0})$ は \begin{align*} [\widehat F_{t_0} ( {\widehat \Xi} )](\omega_{t_0}) = \max_{\omega \in \Omega_{t_0}} [\widehat F_{t_0} ( {\widehat \Xi} ){}](\omega) \end{align*} によって定まる．

したがって、 一言で言えば、 \begin{align} \textcolor{magenta}{\fbox{回帰分析}} = & \textcolor{blue}{ \underset{(推定法)}{\fbox{フィッシャーの最尤法}} + \fbox{実現因果観測量} } \end{align} である。



問題13.1 を測定理論の言葉 （すなわち，回帰分析(定理13.4))で答えよう．



解答 13.5[問題13.1(推定問題)から続く)回帰分析]

木半順序集合を親写像表現 $(T{{=}} \{ 0,1,2\} , \pi: T \setminus \{ 0 \} \to T)$ で表して， $\pi(1)=\pi(2)=0$ とする． 状態空間を $\Omega_0 =\{\omega_1, \omega_2,\ldots,\omega_5\}$， $\Omega_1 = 区間 [100,200]$， $\Omega_2 = 区間[30,110]$とおく. もちろん，同一視： \begin{align*} \omega_n ・・・ \text{ 「少年を助けたのが学生$\omega_n$である」 } という状態 \quad (n=1,2,...,5) \end{align*} を考える． 各 $t \;(\in \{ 1,2 \})$に対して, 決定的因果写像 $\phi_{0,t}{}: \Omega_0 \to \Omega_t $ を $\phi_{0,1}=h$(身長関数)， $\phi_{0,2}=w$(体重関数) と定める． よって, 各 $t \;(\in \{ 1,2\})$に対して, 決定的因果作用素 $\Phi_{0,t}{}: L^\infty(\Omega_t) \to L^\infty(\Omega_0{}) $ は 次のように 定まる: \begin{align*} [\Phi_{0,t} f_t] (\omega) = f_t (\phi_{0,t} (\omega){}) \qquad (\forall \omega \in \Omega_0, \forall f_t \in L^\infty(\Omega_t)) \end{align*}


$t=1,2$ として，標準偏差$\sigma_t >0$を持つ $C (\Omega_t)$内の{\it 正規観測量} ${\mathsf O}_{G_{\sigma_t}} = ({\mathbb R}, {\cal B}_{\mathbb R}, G_{\sigma_t})$， すなわち， \begin{align*} [G_{\sigma_t}(\Xi)] (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma_t^2}} \int_{\Xi} e^{- \frac{(x - \omega)^2}{2 \sigma_t^2}} dx \quad (\forall \Xi \in {\cal B}_{\mathbb R}, \forall \omega \in \Omega_t ) \end{align*}

を考えて， 決定的因果観測量列 $[ \{{\mathsf O}_{G_{\sigma_t}}\}_{t=1,2} , \{ \Phi_{0, t} : L^\infty(\Omega_t) \to L^\infty(\Omega_0)\}_{t=1,2} ]$ を得る． このとき， ${L^\infty(\Omega_0{})}$ 内の 実現因果 観測量 $\widehat{\mathsf O}_{T{}}$ ${{=}}$ $({\mathbb R}^2, {\cal F}_{{\mathbb R}^2}, {\widehat F}_0)$ を 次のように得る: \begin{align*} [{\widehat F}_0(\Xi_1 \times \Xi_2 {})] (\omega) &= [\Phi_{0,1} G_{\sigma_1} ] (\omega) \cdot [\Phi_{0,2} G_{\sigma_2}] (\omega) \\ &= [G_{\sigma_1} ({\Xi_1})] (\phi_{0,1}(\omega){}) \cdot [G_{\sigma_2} ({\Xi_2})] (\phi_{0,2}(\omega){}) \\ & \qquad \qquad (\forall \Xi_1, \Xi_2 \in {\cal B}_{\mathbb R} , \; \forall \omega \in \Omega_0 = \{\omega_1, \omega_2,\ldots,\omega_5\} ) \end{align*}

十分に大きな自然数$N$に対して，区間 $\Xi_1, \Xi_2 \subset {\mathbb R}$ を，

\begin{align*} \Xi_1 =\left[{}165 - \frac1{N}, 165 + \frac1{N}\right], \qquad \Xi_2 =\left[{}65 - \frac1{N}, 65+ \frac1{N} \right] \end{align*} とおく．

${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_0)} (\widehat{\mathsf O}_{T{}}, S_{[\ast]}{})$により得られた測定値 は (165,65) $ (\in {\mathbb R}^2)$ であるから， 測定値は $\Xi_1 \times \Xi_2$ に属す． ここで, 定理13.4[回帰分析] (または， フィッシャーの最尤法(定理5.6)) より， 問題 は，

$(\sharp):$ $ [{\widehat F}_0(\{\Xi_1 \times \Xi_2)] (\omega )$ を最大とするような $\omega_0$ $(\in \Omega_0)$ を見つけよ．
という問題に帰着される． $N$は十分に大きいから, \begin{align*} ({{\sharp}} ) \Longrightarrow & \max_{ \omega \in \Omega_0 } \frac1{{\sqrt{(2 \pi)^2 \sigma_1^2 \sigma_2^2}{}}} \mathop{ \int}_{ \Xi_1 \times \Xi_2 } \exp { [ {}- \frac{ ({}{x_1} - h(\omega){})^2 }{2 \sigma_1^2} - \frac{ ({}{x_2} - {}w(\omega){})^2 }{2 \sigma_2^2} {}] } d {}{x_1} d {}{x_2} \\ \Longrightarrow & \max_{ \omega \in \Omega_0 } \exp { [ {}- \frac{ ({}{165} - h(\omega){})^2 }{2 \sigma_1^2} - \frac{ ({}{65} - {}w(\omega){})^2 }{2 \sigma_2^2} {}] } \\ \Longrightarrow & \min_{ \omega \in \Omega_0 } { [ \frac{ ({}{165} - h(\omega){})^2 }{2 \sigma_1^2} + \frac{ ({}{65} - {}w(\omega){})^2 }{2 \sigma_2^2} {}] } \\ & \text{( 簡単のため， $\sigma_1=\sigma_2$と仮定して)} \\ \Longrightarrow & \text{$\omega_4$のとき，最小値}\frac{ ({}{165} - 170{})^2+({}{65} - 60{})^2 }{2 \sigma_1^2} \text{を得る.} \end{align*}

よって，少年を助けたのは， 学生$\omega_4$と推定される．

$\square \quad$




さて，次に 問題13.2 を測定理論の言葉 (すなわち，回帰分析(定理13.4))で解答しよう．

解答 13.6[(問題13.2(制御問題)から続く)回帰分析]

問題13.2 では，離散時間 $T=\{0,1,2,3\}$ が 直列構造を持つと考えるのが自然で， 親写像$\pi :T\setminus\{0\} \to T$ を$\pi ( t ) = t-1$ $\;(t=1,2,3)$と定める． 4つの状態空間を, たとえば，

$\Omega_0 = [0,\; 1] \times [0,\; 2] $， $\Omega_1 =[0,\; 4] \times [0,\; 2]$， $\Omega_2 = [0,,\; 6] \times [0,\; 2]$， $\Omega_3 = [0, \; 8] \times [0,\; 2]$

と置く. 各$t=1,2,3$ に対して, 決定的因果写像 $\phi_{\pi(t),t}{}: \Omega_{\pi(t)} \to \Omega_t $ を 次の{ように}定義する: \begin{align*} & \phi_{0,1}(\omega_0 ) = (\alpha + \beta, \beta) &\quad& (\forall \omega_0 =(\alpha, \beta ) \in \Omega_0 = [0,\; 1] \times [0,\; 2]) \\ & \phi_{1,2 }(\omega_1 ) = (\alpha + \beta, \beta) &\quad& (\forall \omega_1 =(\alpha, \beta ) \in \Omega_1=[0,\; 4] \times [0,\; 2] ) \\ & \phi_{2,3 }(\omega_2 ) = (\alpha + \beta, \beta) &\quad& (\forall \omega_2 =(\alpha, \beta ) \in \Omega_2 =[0,\; 6] \times [0,\; 2] ) \end{align*} よって, 決定的因果写像列 $\{\phi_{\pi(t),t}{}: \Omega_{\pi(t)} \to \Omega_t\}_{t \in \{1,2,3\}}$ を得て， 決定因作用素列 $\{\Phi_{\pi(t),t}{}: L^\infty(\Omega_{t}) \to L^\infty(\Omega_{\pi(t)} ) \}_{t \in \{1,2,3\}}$ を得る． 図式で書けば， \begin{align*} { {\text{$ {L^\infty (\Omega_0)} $}} } \mathop{\longleftarrow}^{\Phi_{0, 1 } } {\text{$ {L^\infty (\Omega_{1})} $}} \mathop{\longleftarrow}^{\Phi_{1,2 } } {\text{$ {L^\infty (\Omega_{2})} $}} \mathop{\longleftarrow}^{\Phi_{2,3 } } {\text{$ L^\infty (\Omega_{3}) $}} \end{align*} となる． ここで， $\phi_{0,2}(\omega_0)=\phi_{1,2}(\phi_{0,1}(\omega_0))$， $\phi_{0,3}(\omega_0)=\phi_{2,3}(\phi_{1,2}(\phi_{0,1}(\omega_0)))$， したがって， $\Phi_{0,2}=\Phi_{0,1}\cdot \Phi_{1,2}$， $\Phi_{0,3}=\Phi_{0,1}\cdot \Phi_{1,2} \cdot \Phi_{2,3}$ に注意せよ．

更に， $\sigma>0$を標準偏差として， 各 $t=1,2,3$に対して， $L^\infty (\Omega_t)$内の 正規観測量 ${\mathsf O}_{t} {{=}} ({\mathbb R}, {\cal B}_{\mathbb R}, G_{\sigma})$ を次のように定義する: \begin{align*} [G_{\sigma}(\Xi)] (\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{\Xi} e^{- \frac{(x - \omega)^2}{2 \sigma^2}} dx \quad (\forall \Xi \in {\cal B}_{\mathbb R}, \forall \omega \in \Omega_t {{=}} [{}0, \; 2t+2{}]) \end{align*} よって， 決定的因果観測量列 $[ \{{\mathsf O}_{t}\}_{t=1,2,3} , \{\Phi_{\pi(t),t}{}: L^\infty(\Omega_{t}) \to L^\infty(\Omega_{\pi(t)} ) \}_{t \in \{1,2,3\}} ]$ を得る． このとき， ${L^\infty(\Omega_0{})}$内の 実現因果観測量 $\widehat{\mathsf O}_{T{}}$ ${{=}}$ $({\mathbb R}^3, {\cal F}_{{\mathbb R}^3}, {\widehat F}_0)$ は，定理14.5より， 次のように定まる: \begin{align*} & [{\widehat F}_0(\Xi_1 \times \Xi_2 \times \Xi_3{})] (\omega_0) = \big[ \Phi_{0,1} \big(G_{\sigma} ({\Xi_1}) \Phi_{1,2} (G_{\sigma} ({\Xi_2}) \Phi_{2,3} (G_{\sigma} ({\Xi_3}) )) \big) \big] (\omega_0) \\ = & [\Phi_{0,1} G_{\sigma} ({\Xi_1})] (\omega_0) \cdot [\Phi_{0,2} G_{\sigma}({\Xi_2})] (\omega_0) \cdot [\Phi_{0,3} G_{\sigma}({\Xi_3})] (\omega_0) \\ = & [G_{\sigma} ({\Xi_1})] (\phi_{0,1}(\omega_0){}) \cdot [G_{\sigma} ({\Xi_2})] (\phi_{0,2}(\omega_0){}) \cdot [G_{\sigma}({\Xi_3})] (\phi_{0,3}(\omega_0){}) \\ & \qquad \qquad (\forall \Xi_1, \Xi_2, \Xi_3 \in {\cal B}_{\mathbb R}, \; \forall \omega_0 =(\alpha, \beta{}) \in \Omega_0 = [0, \; 1] \times [0, \; 2]{}) \end{align*} さて， 問題13.2 (制御問題)は， ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega_0)} ($ $\widehat{\mathsf O}_{T{}}, $ $S_{[\ast]}{})$ によって， 測定値： \begin{align*} (1.9, \; 3.0, \; 4.7) \; (\in {\mathbb R}^3) \end{align*}

を得ることを期待しているのであった． 十分に大きな$N$に対して,

\begin{align*} \Xi_1 =\left[{}1.9 - \frac1{N}, 1.9 + \frac1{N}\right], \Xi_2 =\left[{}3.0 - \frac1{N}, 3.0 + \frac1{N}\right], \Xi_3 =\left[{}4.7 - \frac1{N}, 4.7 + \frac1{N}\right] \end{align*} とおいて， フィッシャーの最尤法(定理5.6) より， 問題13.2 は

$(\sharp):$ $ [{\widehat F}_0(\Xi_1 \times \Xi_2 \times \Xi_3 )] (\alpha, \beta{})$ を最大とするような $(\alpha, \beta{})$ $(=\omega_0 \in \Omega_0)$ を見つけよ．
という問題に帰着される． $N$は十分大きな自然数と仮定しているので， \begin{align*} ({{\sharp}} ) \Longrightarrow & \max_{ (\alpha, \beta{}) \in \Omega_0 } [{\widehat F}_0(\Xi_1 \times \Xi_2 \times \Xi_3 )] (\alpha, \beta{}) \\ \Longrightarrow & \max_{ (\alpha, \beta{}) \in \Omega_0 } \frac1{{\sqrt{2 \pi \sigma^2}{}}^3} \mathop{ \int\int\int}_{ \Xi_1 \times \Xi_2 \times \Xi_3 } e^{ [{}- \frac{ ({}{x_1} - (\alpha + \beta{}){})^2 + ({}{x_2} - (\alpha + 2 \beta{}){})^2 + ({}{x_3} - (\alpha + 3 \beta{}){})^2 }{2 \sigma^2}{}] } \\ & \times d {}{x_1} d {}{x_2} d {}{x_3} \\ \Longrightarrow & \max_{ (\alpha, \beta{}) \in \Omega_0 } \exp(-J/(2 \sigma^2)) \\ \Longrightarrow & \min_{ (\alpha, \beta{}) \in \Omega_0 } J \end{align*} ここに \begin{align} J = (1.9 -(\alpha + \beta{}){})^2 + (3.0 - (\alpha + 2 \beta{}){})^2 + (4.7 - (\alpha + 3 \beta{}){})^2 \end{align} ( $ \frac{\partial J}{\partial \alpha}=0, \frac{\partial J}{\partial \beta}=0 \text{として} $ ) \begin{align*} \Longrightarrow & \begin{cases} (1.9 -(\alpha + \beta{}){}) + (3.0 - (\alpha + 2 \beta{}){}) + (4.7 - (\alpha + 3 \beta{}){}) = 0 \\ (1.9 -(\alpha + \beta{}){}) + 2 (3.0 - (\alpha + 2 \beta{}){}) + 3 (4.7 - (\alpha + 3 \beta{}){}) = 0 \end{cases} \\ \Longrightarrow & \quad (\alpha, \beta{}) = (0.4, 1.4) \end{align*}

よって， 目標測定値 $(1.9, \; 3.0, \; 4.7)$ を得るための， $(\alpha, \beta)$ の制御状態$(0.4, \; 1.4)$ を得る． 以上であるが， 7.1.2節の (d)で述べた 「制御問題$(c_1)$ と 推定問題$(c_2)$の 実質的同値性」 を再度確認してもらいたい．




注意13.7

念のために、確認すると、

$\bullet$ 理論的観点からは、
  • "推定" = "制御"

である。 したがって、 統計学(推定が主) と 動的システム理論(制御が主) は本質的には同じと考える。