12.4: 二種類のトンデモ性─観念論と二元論

解答 ${\mathbb N}_0$ $=\{0,1,2,\ldots\}$とする． 壷の中に，白球と黒球が，それぞれ$m$個と$n$個入っている状態 を， $ (m,n) \in {\mathbb N}_0^2 $ と記す． 双対因果写像 ${\Phi^*}: {\cal M}_{+1}({\mathbb N}_0^2)$ $ \to {\cal M}_{+1}({\mathbb N}_0^2)$ を， 点測度$\delta_{(\cdot)}$を使って 表現すると，

\begin{align} {\Phi^*}(\delta_{(m,n)}) = \begin{cases} \frac{m}{m+n} \delta_{(m-1,n)}+\frac{n}{m+n} \delta_{(m,n)} & \quad (\text{} m \not= 0\; \text{のとき}) \\ \delta_{(0,n)} & \quad ( m = 0\; \text{のとき}). \end{cases} \tag{12.17} \end{align} $T=\{0,1,2,3\}$を離散時間と して， 各$t$ $\in T$に対して， $\Omega_t = {\mathbb N}_0^2$ とする． したがって，

\begin{align} & {[\Phi^*]}^3 (\delta_{(3,2)}) = {[\Phi^*]}^2 \left( \frac{3}{5}\delta_{(2,2)} + \frac{2}{5}\delta_{(3,2)} \right) \nonumber \\ = & {\Phi^*} \left( (\frac{3}{5} (\frac{2}{4} \delta_{(1,2)} +\frac{2}{4} \delta_{(2,2)} ) + \frac{2}{5}{(} \frac{3}{5} \delta_{(2,2)}+\frac{2}{5} \delta_{(3,2)} ) \right) = {\Phi^*} \left( \frac{3}{10} \delta_{(1,2)} +\frac{27}{50} \delta_{(2,2)} + \frac{4}{25} \delta_{(3,2)} \right) \nonumber \\ = & \frac{3}{10} ( \frac{1}{3} \delta_{(0,2)}+\frac{2}{3} \delta_{(1,2)} ) +\frac{27}{50} ( \frac{2}{4} \delta_{(1,2)}+\frac{2}{4} \delta_{(2,2)} ) + \frac{4}{25} ( \frac{3}{5} \delta_{(2,2)}+\frac{2}{5} \delta_{(3,2)} ) \nonumber \\ = & \frac{1}{10} \delta_{(0,2)}+\frac{47}{100} \delta_{(1,2)} +\frac{183}{500} \delta_{(2,2)} + \frac{8}{125} \delta_{(3,2)} \tag{12.18} \end{align}

$C(\Omega_3)$ 内の観測量 ${\mathsf O} =({\mathbb N}_0,2^{{\mathbb N}_0}, F^{})$ を，次のように定める: \begin{align*} [F^{}(\Xi)](m,n) = \begin{cases} 1 & \qquad (m,n ) \in \Xi \times {\mathbb N}_0 \subseteq \Omega_3 \\ 0 & \qquad (m,n ) \notin \Xi \times {\mathbb N}_0 \subseteq \Omega_3 \end{cases} \end{align*} したがって， 測定 ${\mathsf M}_{L^infty({\mathbb N}_0^2)}(\Phi^3{\mathsf O}, S_{[(3,2)]})$ により，測定値「$2$」を得る確率， すなわち， 手元に白球が$2$つ残る確率は， \begin{align} [\Phi^3 (F (\{2\}))](3,2) = \int_{\Omega_3} [F(\{2\})](\omega) ({[\Phi^*]}^3 (\delta_{(3,2)}) )(d \omega) = \frac{183}{500} \tag{12.19} \end{align} である．

• 観客は舞台に上がらない

注意12.14 [測定と因果関係の混同 (例 2.31からの続き)] 例2.31の [コップの水の冷・熱の測定] を思い出そう． 測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }} ( {\mathsf O}_{冷熱},$ $ S_{[\delta_\omega]} )$ で，$\omega=5℃$ の場合に，

注意12.15 [混合測定とマルコフ因果関係の混用( (壷問題:混合測定)からの続き)] 解答9.13(壷問題：混合測定)を再考しよう． 状態空間$\Omega=\{\omega_1, \omega_2 \}$ を考えて， $C(\Omega{})$内の観測量 ${\mathsf O} = ( \{ 白, 黒 \}, 2^{\{ 白, 黒 \} } , F{})$ を (9.15)式 で定義し， 点測度$\delta_{(\cdot)}$ を用いて， 混合状態を$\nu_0 =p \delta_{\omega_1} +(1-p) \delta_{\omega_2}$ とした． このとき， 混合測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)}({\mathsf O}, S_{[{}\ast{}] }(\nu_0) )$ によって，測定値 $x$ $(\in \{ 白 , 黒 \}{})$ が得られる確率は \begin{align} P(\{ x \}{}) &= \int_\Omega [F(\{ x \}{})]( \omega) \nu_0(d \omega{}) = p [F(\{ x \}{})](\omega_1) + (1-p) [F(\{ x \}{})](\omega_2) \nonumber \\ &= \begin{cases} 0.8 p + 0.4 (1-p{}) \quad & (x=白{}\; \text{のとき}) \\ 0.2 p + 0.6 (1-p{})) \quad & (x=黒{}\; \text{のとき}) \end{cases} \tag{12.20} \end{align} であった． さて，ここで新たな状態空間$\Omega_0$ を1点$\omega_0$からなる集合，すなわち， $\Omega_0=\{\omega_0\}$ と定める． 双対マルコフ因果作用素 ${\Phi^*}: {\cal M}_{+1}(\Omega_0)$ $ \to {\cal M}_{+1}(\Omega)$ を， ${\Phi^*}(\delta_{\omega_0})$ $ =p \delta_{\omega_1} +(1-p) \delta_{\omega_2}$ として， マルコフ因果作用素 ${\Phi}: L^\infty(\Omega)$ $ \to L^\infty(\Omega_0)$ を定める． ここで， 純粋測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_0)}(\Phi{\mathsf O}, S_{[\omega_0]})$ を考えよう．この測定により， 測定値 $x$ $(\in \{ 白 , 黒 \}{})$ が得られる確率は， \begin{align*} P(\{ x \}{}) &= [\Phi (F (\{ x \}))](\omega_0) = \int_\Omega [F(\{ x \}{})]( \omega) \nu_0(d \omega{}) \\ &= \begin{cases} 0.8 p + 0.4 (1-p{}) \quad & (x=白{}\; \text{のとき}) \\ 0.2 p + 0.6 (1-p{})) \quad & (x=黒{}\; \text{のとき}) \end{cases} \end{align*} となり，上の(12.20)式と同じになる． $\qquad$ したがって， 混合測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)}({\mathsf O}, S_{[{}\ast{}] }(\nu_0) )$ を 純粋測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega_0)}(\Phi{\mathsf O}, S_{[\omega_0]})$ と見なすことができたことになる．

$\fbox{注釈12.6}$

解答9.13 の「事前確率(=混合状態)」 が， 注意12.15では，「マルコフ確率」 になったことに注意すべきである． すなわち， $(\sharp):$ $ \qquad$ 概念は，記述の仕方に依存する のが， 言語的世界記述法である． これを「トンデモ」と 思うとしたら， 実在的科学観の刷り込みに起因すると考える. 実在的記述法に慣れた感覚からすると， 妙な感じがすると思うが， 言語的記述法とはこういうものである． ニーチェ(1844年--1900年)の有名な言葉： $\bullet$ 「事実などは存在しない,あるのは解釈だけ」 を思い出そう. 測定理論は， 物理学とはまったく別の原理 (すなわち， 「言葉が先，世界が後」) から成り立っていることに注意すべきである。 注釈2.5で述べたように， 「○○とは，何か？」という問い掛け に対して真摯な態度を取らなかった理由は， 上の$(\sharp)$に依拠する． これが言語的世界観で、 すなわち、 "足を(=世界)を靴(言語)に合わせる" である。