11.2: 波束の収縮 ( i.e., 射影公準 )
言語的解釈では、「測定後の状態」は意味がないわけで、 波束の収縮も意味がない。 しかしながら、多少の工夫をした測定を行うことで、 「波束の収縮もどき」を実現できる。以下にこのことを説明する(次の論文の抜粋)。

$\bullet$S. Ishikawa, “Linguistic interpretation of quantum mechanics; Projection Postulate” Journal of Quantum Information Science, Vol. 5 No. 4, 2015, pp. 150-155. DOI: 10.4236/jqis.2015.54017 ( download free)
$\bullet$ S. Ishikawa: "The realization of the wave function collapse in the linguistic interpretation of quantum mechanics," arXiv:1511.07777 [physics.gen-ph] ,( 2015), (download free)





11.2.1: 問題設定: von Neumann-Lüders の射影公準

量子基本構造 $[{\mathcal C}(H),B(H)]_{B(H)}$ を考える。 加算集合$\Lambda$を考える。$B(H)$内の射影観測量${\mathsf O}_P =( \Lambda ,2^{\lambda}, P)$を固定する。

さて、 \begin{align} P_{\lambda } = P( \{\lambda \} ) \qquad (\forall \lambda \in \Lambda ) \tag{11.8} \end{align} と置く。 言語ルール1 (測定; $\S$2.7)によれば、
(A1): 測定${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}}_P$ ${\; :=} ( \Lambda ,2^{\lambda}, P),$ $ S_{[\rho]})$によって、測定値 $\lambda_0$ $( \in {\Lambda})$が得られる確率は、 次で与えられる: \begin{align} \mbox{Tr}_{{}_H}( \rho P_{\lambda_0} ) (= \langle u , P_{\lambda_0} u \rangle = \| P_{\lambda_0} u \|^2 ), \quad (\mbox{ where } \rho= |u \rangle \langle u | ) \tag{11.9} \end{align}
となる。
さらに、 von Neumann-Lüders の射影公準 ( in the Copenhagen interpretation)は次を主張する:
(A$_2$) 測定${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}}_P$ ${\; :=} ( \Lambda ,2^{\lambda}, P),$ $ S_{[\rho]})$によって、測定値 $\lambda_0$ $( \in {\Lambda})$が得られたとき、 測定後の状態は、$\rho_{\mbox{ post}}$は次で与えられる。 \begin{align} \rho_{\mbox{ post}} =\frac{P_{\lambda_0} |u \rangle \langle u |P_{\lambda_0} }{\| P_{\lambda_0} u \|^2} \tag{11.10} \end{align} したがって、さらに測定 ${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}}_F{\; :=}(X,{\mathcal F}, F),$ $ S_{[\rho_{\mbox{ post}}]})$を行えば (ここに ${\mathsf{O}}_F$ は$B(H)$内の任意の観測量), 測定値が $\Xi ( \in {\mathcal F} )$に属する確率は、次で与えられる: \begin{align} \mbox{Tr}_{{}_H} ( \rho_{\mbox{post}} F(\Xi )) \Big(= \langle \frac{P_{\lambda_0} u}{\| P_{\lambda_0} u \| }, F(\Xi) \frac{P_{\lambda_0} u}{\| P_{\lambda_0} u \|} \rangle \Big) \tag{11.11} \end{align}

ここで、次の問題設定を得る:


問題 11.5 言語的解釈においては、測定後の状態( すなわち、von Neumann-Lüders の射影公準 (A$_2$))は無意味である。 また、上 (=(A$_1$)+(A$_2$)) は、同時測定${\mathsf M}_{B(H)}({\mathsf{O}}_F \times {\mathsf{O}}_P, S_{[\rho]})$ (これは、${\mathsf{O}}_P$ and ${\mathsf{O}}_F$が可換でない場合は存在しない). したがって、von Neumann-Lüders の射影公準 (A$_2$)は一般には成り立たない。 そこで、次の問題設定を得る。
(B) 観測量${\mathsf{O}}_F \times {\mathsf{O}}_P$ (in ${\mathsf M}_{B(H)}({\mathsf{O}}_F \times {\mathsf{O}}_P, S_{[\rho]})$) がダメならば、 如何なる観測量を設定すればよいか?
である。
さて、以下で、 問題 11.5の(言語的解釈の枠組み内の)解答を述べる。

11.2.2: 言語的解釈の枠組み内でのvon Neumann-Lüders 射影公準の導出

二つの量子基本構造 $[{\mathcal C}(H),B(H)]_{B(H)}$ と $[{\mathcal C}(H \otimes K),B(H \otimes K)]_{B(H \otimes K)}$ を考えよう。 $\{ P_\lambda \; |\; \lambda \in \Lambda \}$は式(11.9)の通りとする。 $\{ e_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda }$をヒルベルト空間$K$内の完全正規直交系 (CONS)とする。 前共役マルコフ作用素 $\Psi_*: Tr(H) \to Tr(H \otimes K)$ を次のように定義する:

\begin{align} \Psi_* (|u \rangle \langle u |) = |\sum_{\lambda \in \Lambda }(P_{\lambda } u \otimes e_{\lambda} )\rangle \langle \sum_{\lambda \in \Lambda }( P_{\lambda } u \otimes e_{\lambda}) | \quad (\forall u \in H ) \quad \mbox{(エンタングルメント)} \tag{11.12} \end{align} または、 \begin{align} \Psi_* (|u \rangle \langle u |) = \sum_{\lambda \in \Lambda } | P_{\lambda } u \otimes e_{\lambda} \rangle \langle P_{\lambda } u \otimes e_{\lambda} | \quad (\forall u \in H ) \quad \mbox{(デコヒーレンス)} \tag{11.13} \end{align} 等でもよい。

したがって、マルコフ作用素$\Psi: B(H \otimes K) \to B(H)$ ( in Axiom 2) を $\Psi = (\Psi_*)^*$ で定義できる。


$B(K)$内の 射影観測量${\mathsf O}_G = ( {\Lambda}, 2^{\Lambda}, G)$を次のように定める:

$$ G( \{ \lambda \} ) = |e_{\lambda} \rangle \langle e_{\lambda} | \qquad (\lambda \in \Lambda ) $$

ここで、${\mathsf O}_F = (X, {\mathcal F}, F)$ を$B(H)$内の任意の観測量として、$B(H \otimes K)$内のテンソル観測量 ${\mathsf O}_F \otimes {\mathsf O}_G$ $=$ $(X \times {\Lambda } ,{\mathcal F} \boxtimes 2^{\Lambda }, F \otimes G )$ を得る( ${\mathcal F} \boxtimes 2^{\Lambda }$ は積$\sigma$-集合体).


純粋状態$\rho = |u \rangle \langle u |$ $( u \in H , \| u \|_H = 1 )$ を固定して、 測定 ${\mathsf M}_{B(H)} (\Psi( {\mathsf O}_F \otimes {\mathsf O}_G), S_{[\rho ]} )$ を考えよう。 このとき、言語ルール1 (測定; $\S$2.7)により、次を得る:

(C) ${\mathsf M}_{B(H)} (\Psi ( {\mathsf O}_F \otimes {\mathsf O}_G),$ $ S_{[\rho ]} )$によって得られる測定値$(x, \lambda )$ が $ \Xi \times\{ \lambda_0 \}$ に属する確率は次のようになる:
\begin{align*} & \mbox{Tr}_{{}_H}[ (|u \rangle \langle u |) \Psi( F(\Xi) \otimes G(\{\lambda_0 \}))] = {}_{{}_{\scriptsize {Tr}(H)}} \big(|u \rangle \langle u |, \Psi( F(\Xi) \otimes G(\{\lambda_0 \}) ) \big)_{{}{B(H)}} \\ = & {}_{{}_{\scriptsize {Tr}(H \otimes K)}} \big(\Psi_* (|u \rangle \langle u |), F(\Xi) \otimes G(\{ \lambda_0 \}) \big)_{{}{B(H \otimes K)}} = \mbox{Tr}_{{}_{H \otimes K }} [ (\Psi_* (|u \rangle \langle u |)) ( F(\Xi) \otimes G(\{\lambda_0 \}) ) ] \\ = & \mbox{Tr}_{{}_{H \otimes K }} [( |\sum_{\lambda \in \Lambda }( P_{\lambda} u \otimes e_{\lambda})\rangle \langle \sum_{\lambda \in \Lambda }( P_{\lambda} u \otimes e_{\lambda}) | ) ( F(\Xi) \otimes |e_{\lambda_0} \rangle \langle e_{\lambda_0} | ) ] \\ = & \langle P_{\lambda_0} u , F(\Xi ) P_{\lambda_0} u \rangle \quad (\forall \Xi \in {\mathcal F} ) \end{align*} ( (11.13)の場合も同じように計算できる).

したがって、次を結論できる。
(D$_1$) もし$\Xi=X$ならば、次が成立: \begin{align} \mbox{Tr}_{{}_H} [ (|u \rangle \langle u |) \Psi( F(X) \otimes G(\{\lambda_0 \}) )] = \langle P_{\lambda_0} u, P_{\lambda_0} u \rangle = \| P_{\lambda_0} u \|^2 \tag{11.14} \end{align}
(D$_2$) 測定値$( x , \lambda )$が$ X \times \{ \lambda_0 \}$に属したとき、 $x \in \Xi$である条件付き確率は、次で与えられる: \begin{align} \frac{\langle P_{\lambda_0} u , F(\Xi ) P_{\lambda_0} u \rangle}{ \| P_{\lambda_0} u \|^2 } \Big( = \langle \frac{P_{\lambda_0} u}{\| P_{\lambda_0} u \| }, F(\Xi) \frac{P_{\lambda_0} u}{\| P_{\lambda_0} u \|} \rangle \Big) \quad (\forall \Xi \in {\mathcal F } ) \tag{11.15} \end{align}

ここで、観測量${\mathsf O}_F$は任意であったことに注意しよう。 また、上(i.e., the 射影公準 (D))は言語ルール1と2の帰結であることにも注意しよう。


対応$\mbox{(A)} \Leftrightarrow \mbox{(D)}$、 すなわち、 $$ {\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}}_P, S_{[\rho]}) \mbox{ $\Big($or, 無意味な$ {\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}}_F \times {\mathsf O}_P, S_{[\rho]}) $ $\Big)$ } \Leftrightarrow {\mathsf M}_{B(H)}(\Psi ({\mathsf O}_F \otimes {\mathsf O}_G ), S_{[\rho ]} ), $$ つまり, $$ \quad \mbox{(11.9)} \Leftrightarrow \mbox{(11.14)}, \quad \mbox{(11.11)} \Leftrightarrow \mbox{(11.15)} $$

の下に、

  • (A)の真の意味は(D)である

と結論することには一理ある。 ここで、禁句「測定後の状態」が(D$_2$)では使われていないことを確認せよ。 したがって、

  • 問題11.5の解答は $\Psi ( {\mathsf O}_F \otimes {\mathsf O}_G )$

である。

(A)は間違っているわけであるが、「(A)を正しい議論(D)の省略形と見なす」ならば (A)は使える。 これを公準11.6として、以下に述べておく。


公準 11.6 [射影公準] (D$_2$)の省略形として、(A$_2$)をしばしば使う: すなわち、
(E) ${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}}_P{\; :=} ( \Lambda ,2^{\lambda}, P),$ $ S_{[\rho]})$に よって測定値$\lambda_0$ $( \in {\Lambda})$が得られたとき、 測定後の状態$\rho_{\mbox{ post}}$は次で与えられる: \begin{align} \rho_{\mbox{ post}} =\frac{P_{\lambda_0} |u \rangle \langle u |P_{\lambda_0} }{\| P_{\lambda_0} u \|^2} \tag{11.16} \end{align}
Remark 11.7

いわゆるコペンハーゲン解釈は、「測定後の状態(i.e., 波束の収縮)」を認めている。 そうならば、読者は、(D$_2$)の帰結として、観測量${\mathsf O}_F$の任意性より

  • 測定後の状態=$\frac{P_{\lambda_0} |u \rangle \langle u |P_{\lambda_0} }{\| P_{\lambda_0} u \|^2}$

と結論するかもしれない。 しかし、言語的解釈「測定は一回だけ」では、この結論は間違いである。 もし「測定後の状態」を認めてしまったら、 困った問題が続出する。 たとえば、「測定はいつ成されたのか?」、「波束の収縮はいつ起きるのか?、 その速さは?」等であり、 これらは当然のことであるが、言語ルール1と2の範囲外である。

量子言語は言語なのだから、ウィトゲンシュタインの言葉「 "The limits of my language mean the limits of my world", 」 or 「 "What we cannot speak about we must pass over in silence." 」を思い出すべきである。



サプリ
(D$_2$)の省略形としての射影公準は単純であった。 しかし、文字通りに、von Neumann-Lüders の射影公準(A$_2$)を信じてしまうと、袋小路に嵌ってしまう。 たとえば、
$\bullet$測定した瞬間とは、信号が 「抽象的自我」 に到達した瞬間のことである。( by von Neumann)
とか、
$\bullet$波束の収縮を起こす能力は、人類特有の能力である。
とか、
$\bullet$別の測定値を得たら、別の波動関数を得るわけで、これは別の世界に入り込んだことを意味する(多世界解釈)。
等のトンデモ理論に陥ってしまう。 と言うよりも、

  • そもそも、「(波束の収縮を認める)コペンハーゲン解釈」がトンデモ理論だった

わけである。