10.2.2: 簡単な例─有限状態空間ならば，因果作用素は行列表現可能

例 10.7 [決定的因果作用素，決定双対因果作用素，決定的因果写像 ]

2つの状態空間$\Omega_1$ と $\Omega_2$ を実直線${\mathbb R}$，すなわち, $\Omega_1=\Omega_2={\mathbb R}$ として,測度$\nu_1$と$\nu_2$はルベーグ測度とする． 二つの古典系の基本構造： \begin{align*} [ C_0(\Omega_1(\equiv {\mathbb R}) ) \subseteq L^\infty (\Omega_1, \nu_1 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_1, \nu_1 ))] \end{align*} \begin{align*} [ C_0(\Omega_2(\equiv {\mathbb R})) \subseteq L^\infty (\Omega_2, \nu_2 ) \subseteq B(L^2 (\Omega_2, \nu_2 ))] \end{align*} を考える. 決定的因果写像 $\phi_{1,2} : \Omega_1 \to \Omega_2 $ を, たとえば，二次関数: \begin{align*} \omega_2 = \phi_{1,2}(\omega_1 )= 3 (\omega_1)^2 +2 \qquad (\forall \omega_1 \in \Omega_1 ={\mathbb R}) \end{align*} で定める． このとき， 点測度$\delta_{(\cdot)}$ を用いて書けば， 決定双対因果作用素 ${\Phi}^*_{1,2}:{\cal M}_{}(\Omega_1) \to {\cal M}_{}(\Omega_2) $ が次のように定義できる． \begin{align*} {\Phi}^*_{1,2} \delta_{\omega_1} = \delta_{3 (\omega_1)^2 +2} \qquad (\forall \omega_1 \in \Omega_1 ) \end{align*} であり， 決定的因果作用素$\Phi_{1,2}:L^\infty (\Omega_2) \to L^\infty (\Omega_1) $ は， \begin{align*} [\Phi_{1,2} (f_2)](\omega_1 ) = f_2(3 (\omega_1)^2 +2) \qquad (\forall f_2 \in L^\infty (\Omega_2), \forall \omega_1 \in \Omega_1 ) \end{align*} によって定まる．



例 10.8 [双対因果作用素・因果作用素] 2つの有限状態空間$\Omega_1$ と $\Omega_2$ を， $\Omega_1=\{ \omega_1^1, \omega_1^2, \omega_1^3 \}$ と $\Omega_2=\{ \omega_2^1 , \omega_2^2\}$ と定める． $\rho_1 (\in {\cal M}_{+1}(\Omega_1))$を， 点測度 $\delta_{(\cdot)} (\in {\cal M}_{+1}(\Omega_1) ) $ を用いて， \begin{align*} \rho_1= a_1 \delta_{\omega_1^1} +a_2 \delta_{\omega_1^2} +a_3 \delta_{\omega_1^3} \quad (0{{\; \leqq \;}}a_1,a_2 ,a_3 {{\; \leqq \;}}1, a_1+a_2 +a_3=1) \end{align*} で定める． このとき， 双対因果作用素 ${\Phi}^*_{1,2}: {\cal M}_{+1}(\Omega_1) \to {\cal M}_{+1}(\Omega_2)$ は \begin{align*} {\Phi}^*_{1,2}(\rho_1 ) = & (c_{11}a_1+c_{12}a_2+c_{13}a_3)\delta_{\omega_2^1} + (c_{21}a_1+c_{22}a_2+c_{23}a_3)\delta_{\omega_2^2} \\ \; & (0 {{\; \leqq \;}}c_{ij} {{\; \leqq \;}}1, \sum\limits_{i=1}^2 c_{ij} =1) \end{align*} と表現できる． ここで，同一視：${\cal M}(\Omega_1) {\; \approx \;} {\mathbb C}^3$， ${\cal M}(\Omega_2) {\; \approx \;} {\mathbb C}^2$， すなわち， \begin{align*} & {\cal M}(\Omega_1) \ni \alpha_1 \delta_{\omega_1^1} +\alpha_2 \delta_{\omega_1^2} + \alpha_3 \delta_{\omega_1^3} \underset{同一視}{\longleftrightarrow} \left[\begin{array}{ll} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \end{array}\right] \in {\mathbb C}^3 \\ & {\cal M}(\Omega_2) \ni \beta_1 \delta_{\omega_2^1} +\beta_2 \delta_{\omega_2^2} \underset{同一視}{\longleftrightarrow} \left[\begin{array}{ll} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \end{array}\right] \in {\mathbb C}^2 \end{align*} を考える． このとき， \begin{align*} & {\Phi}^*_{1,2}(\rho_1 ) = \beta_1\delta_{\omega_2^1} + \beta_2\delta_{\omega_2^1} = \left[\begin{array}{ll} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \end{array}\right], \\ & \rho_1 = \alpha_1 \delta_{\omega_1^1} +\alpha_2 \delta_{\omega_1^2} + \alpha_3 \delta_{\omega_1^3} = \left[\begin{array}{ll} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \end{array}\right] \end{align*} とおいて， 行列形式で書けば， \begin{align*} {\Phi}^*_{1,2} (\rho_1 ) = \left[\begin{array}{ll} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \end{array}\right] \end{align*} 次に，この双対因果作用素 ${\Phi}^*_{1,2}: {\cal M}_{}(\Omega_1) \to {\cal M}_{}(\Omega_2)$ から， 因果作用素 $\Phi_{1,2}: L^\infty (\Omega_2, \nu_2) \to L^\infty (\Omega_1, \nu_1)$を構成しよう． $\nu_1 (\{\omega_1^k\})=1$ $(\; k=1,2,3)$, $\nu_2 (\{\omega_2^k\})=1$ $(\; k=1,2)$ としておく. 同一視：${L^\infty }(\Omega_1) {\; \approx \;} {\mathbb C}^3$， ${L^\infty }(\Omega_2) {\; \approx \;} {\mathbb C}^2$， すなわち， \begin{align*} {L^\infty }(\Omega_1) \ni f_1 \underset{同一視}{\longleftrightarrow} \left[\begin{array}{ll} f_1 ( \omega_1^1) \\ f_1 ( \omega_1^2) \\ f_1 ( \omega_1^3) \\ \end{array}\right] \in {\mathbb C}^3, \qquad {L^\infty }(\Omega_2) \ni f_2 \underset{同一視}{\longleftrightarrow} \left[\begin{array}{ll} f_2 ( \omega_2^1) \\ f_2 ( \omega_2^2) \\ \end{array}\right] \in {\mathbb C}^2 \end{align*} を考える． $f_2 \in L^\infty (\Omega_2)$， $f_1 = \Phi_{1,2} f_2$として， 行列形式で書けば， \begin{align*} \left[\begin{array}{ll} f_1(\omega_1^1) \\ f_1(\omega_1^2) \\ f_1(\omega_1^3) \\ \end{array}\right] = f_1 = \Phi_{1,2} (f_2 ) = \left[\begin{array}{ll} c_{11} & c_{21} \\ c_{12} & c_{22} \\ c_{13} & c_{23} & \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} f_2(\omega_2^1) \\ f_2(\omega_2^2) \\ \end{array}\right] \end{align*} となる． したがって，双対因果作用素${\Phi}^*_{1,2}$と 因果作用素$\Phi_{1,2}$ の関係は， 行列表現をもつ場合 (すなわち， $\Omega_1$ と $\Omega_2$ が有限集合 の場合 ) は「転置」の関係になる．


例 10.9[決定双対因果作用素，決定的因果写像，決定的因果作用素] 上の例から引き継いで， 双対因果作用素 ${\Phi}^*_{1,2}: {\cal M}(\Omega_1) ({\approx} {\mathbb C}^3) \to {\cal M}(\Omega_2) ({\approx} {\mathbb C}^2) $ が， たとえば， 行列形式で， \begin{align*} {\Phi}^*_{1,2}(\rho_1 ) = \left[\begin{array}{ll} b_1 \\ b_2 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 0 & 1& 1 \\ 1 & 0& 0 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array}\right] \end{align*} と表現される場合は，決定双対因果作用素になる． この 決定的因果作用素 $\Phi_{1,2}: C(\Omega_2) \to C(\Omega_1)$ を 行列形式で書けば， \begin{align*} \left[\begin{array}{ll} f_1(\omega_1^1) \\ f_1(\omega_1^2) \\ f_1(\omega_1^3) \\ \end{array}\right] = f_1 = \Phi_{1,2} (f_2 ) = \left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1& 0 \\ 1 & 0 & \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ll} f_2(\omega_2^1) \\ f_2(\omega_2^2) \\ \end{array}\right] \end{align*}

となる． もちろん， その決定的因果写像 $\phi_{1,2}: \Omega_1 \to \Omega_2$ は \begin{align*} \phi_{1,2}(\omega_1^1)= \omega_2^2, \quad \phi_{1,2}(\omega_1^2)= \omega_2^1, \quad \phi_{1,2}(\omega_1^3)= \omega_2^1 \quad \end{align*} で表される．

10.2.3: 因果作用素列─因果関係の連鎖



$(T,{{\; \leqq \;}})$ {{を}}木半順序集合, すなわち，半順序集合で， 任意の $t_1, t_2, t_3 (\in T)$ に対して， \begin{align*} t_1 {{\; \leqq \;}}t_3, \;\; t_2 {{\; \leqq \;}}t_3 \Longrightarrow t_1 {{\; \leqq \;}}t_2 \text{ または } t_2 {{\; \leqq \;}}t_1 \end{align*} を満たすとする． $T^2_{\leqq}= \{ (t_1,t_2) \in T^2{}\; |\; t_1 {{\; \leqq \;}}t_2 \}$ とおく. 要素 $t_0 \in T$が， 条件：「$t_0 {{\; \leqq \;}}t$ ($\forall t \in T$)」 を満たすとき，$t_0 $を $T$の ルート と呼ぶ． このとき， $(T,{{\; \leqq \;}})$ を $(T(t_0),{{\; \leqq \;}})$ と書くこともある． 木半順序集合$T$が有限と仮定するならば,親写像$\pi{}: T \setminus \{ t_0 \} \to T$ を $\pi (t{}) = \max \{ s \in T{}\; |\; s < t \}$ で定義できる． ルート$t_0$ をもつ木半順序集合 $(T(t_0), {{\; \leqq \;}})$ は， 対 $(T{{=}} \{ t_0,t_1,\ldots, t_N\} , \pi: T \setminus \{ t_0 \} \to T)$ で表現することもある． この表現$(T{{=}} \{ t_0,t_1,\ldots, t_N\} , \pi: T \setminus \{ t_0 \} \to T)$ を， $(T(t_0), {{\; \leqq \;}})$ の{\bf 親写像表現}と呼ぶ．
図10.2 は, $t_0$がルートで， $\pi(t_3)=\pi(t_4)=t_2$， $\pi(t_2)=\pi(t_5)=t_1$， $\pi(t_1)=\pi(t_6)=\pi(t_7)=t_0$ の例である．

  • Figure 10.2:Tree: $(T=\{t_0, t_1, ...,t_7\}, \pi: T \setminus \{t_0\} \to T )$


定義10.10 [因果作用素列; 因果関係のハイゼンベルグ描像] $T$を木半順序集合とする. 各$ t \in T$に対して, 基本構造 \begin{align*}[ {\mathcal A}_t \subseteq \overline{\mathcal A}_t \subseteq B(H_t)] \end{align*} を考える. {{}}族 $\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${ \overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}_{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ $\Big($ または， $\{$ ${\overline{\mathcal A}_{t_2} } \overset{\Phi_{t_1,t_2}}\to {\overline{\mathcal A}_{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ とも記される $\Big)$ は 次を満たすとき， 因果作用素列 (または， 因果関係列のハイゼンベルグ描像) という(図10.3)：

$\mbox{(i):}$ 任意の$(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}$に対して, 因果作用素 $\Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${ \overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}_{t_1}}$ が定義されて， $\Phi_{t_1,t_2} \Phi_{t_2,t_3} = \Phi_{t_1,t_3}$ $(\forall (t_1,t_2)$, $\forall (t_2,t_3) \in T^2_{\leqq})$ を満たす． ここに， $\Phi_{t,t} : {\overline{\mathcal A}_{t}} \to {\overline{\mathcal A}_{t}}$ は恒等作用素とする．



定義10.11

(i): [前双対因果作用素列;　因果関係のシュレーディンガー描像] 族 $\{ ({\Phi}_{t_1,t_2})_*{}: $ $ (\overline{\mathcal A}_{t_1})_* \to (\overline{\mathcal A}_{t_1})_* \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ を， $\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${ \overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ の 前双対因果作用素列 (または， 因果関係列のシュレーディンガー描像) という．

(ii): [双対因果作用素列: 因果関係のシュレーディンガー描像] 族 $\{ {\Phi}^*_{t_1,t_2}{}: $ $ {\mathcal A}^\ast_{t_1} \to {\mathcal A}^\ast_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ を， $\{ \Phi_{t_1,t_2}{}: $ ${ \overline{\mathcal A}_{t_2}} \to {\overline{\mathcal A}{t_1}} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ の 双対因果作用素列} (または， 因果関係列のシュレーディンガー描像}) という．





注意10.12 [ハイゼンベルグ描像が正式]

シュレーディンガー描像 は直感的で手軽である。 シュレーディンガー描像$\{ {\Phi}^*_{t_1,t_2}{}: $ $ {\mathcal A}^\ast_{t_1} \to {\mathcal A}^\ast_{t_1} \}_{(t_1,t_2) \in T^2_{\leqq}}$ を考えて, $t_1 (\in T)$において, $C^*$-混合状態$\rho_{t_1} (\in {\frak S}^m({\mathcal A}_{t_1}^*)$を想定すれば,

$\bullet$ $ t_2 (\ge t_1) $ における$C^*$-混合状態$\rho_{t_2} (\in {\frak S}^m({\mathcal A}_{t_2}^*))$ は \begin{align*} \rho_{t_2}=\Phi_{t_1, t_2}^* \rho_{t_1} \end{align*} となる.
と思えばよい. しかし,注意点は, 言語的コペンハーゲン解釈「状態は動かない」の帰結として,
$\bullet$ ハイゼンベルグ描像が正式で, シュレーディンガー描像は場合の手法
ということである. このことは,後で述べる.