9.10: ベイズ統計学: モンティ・ホール問題 [resp. 三囚人の問題 ]




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$(\sharp):$ S. Ishikawa; Final Solutions of Monty Hall problem and Three Prisoners Problem arXiv:1408.0963v1 [stat.OT] 2014

9.10: ベイズ統計学: モンティ・ホール問題 [resp. 三囚人の問題 ]



問題9.23[(=問題9.16)Monty Hall 問題(ベイス統計)].
$\quad$ あなたはゲームショウに参加している.三つのドア (i.e., ドア$A_1$, ドア$A_2$, ドア$A_3$)があって, 一つのドアの後ろには『自動車』が, また他の二つのドアの後ろには『羊』が隠されている.　司会者はドアの後ろが見えるが,あなたには見えない. 司会者が,「どのドアの後ろに,『自動車』が隠されていると思いますか？」 とあなたに問う.ゲームなので,あなたは 「ドア$A_1$」と答えたとしよう. そして,司会者は次のように言った.
$(\sharp_1):$ どのドアの後ろに『自動車』を置くかは, (公正とは限らない)サイコロ投げで決めた. すなわち、各ドア$A_m$の後ろに,『自動車』が置いてある確率は, $p_m$ (ここに、 $p_1 + p_2 + p_3 =1$, $ 0 \le p_1 , p_2 , p_3 \le 1 $ $)$ である.
さらに,司会者は「ドア$A_3$の後ろは,『羊』ですよ」とあなたに教えてくれた. 最後に,司会者は 「あなたは,ドア$A_1$と言ってしまいましたが,いまからでも,ドア$A_2$に変更できますよ」と言った.さて,ここで,
$\bullet$ あなたは,ドア$A_1$のままにして変更しないか,または,ドア$A_2$に変更しますか？





問題9.24 [三囚人の問題: ベイズ統計]
$\quad$ 三人の死刑囚$A_1$, $A_2$と$A_3$が牢屋に入っている. 皇帝によって,三人の内の一人は恩赦で,罪を許された. 恩赦された者が誰だかは,皇帝は知っているが,三人には知らされていない. ここで,囚人$A_1$が皇帝に次のように言った. 「 私以外の二人の内で,すくなくとも一人は,死刑のはず. その一人を私だけに教えてくれませんか？」 皇帝はすこし考えたが, 「囚人$A_1$には,関係ないことなので,いいか」と思って, 「$A_3$さんは死刑だよ」 と答えた.またさらに,
$(\sharp_1):$ 誰を恩赦にするかは,(公正とは限らない)サイコロ投げで決めた. すなわち,$A_m$さんが、恩赦される確率は $p_m$ (where $p_1 + p_2 + p_3 =1$, $ 0 \le p_1 , p_2 , p_3 \le 1 $ $)$ であった.
と言った. そこで, 囚人$A_1$は次のように考えた.
$\bullet$ もともとは,３人の内で一人が恩赦だったのに, $A_3$さんは死刑確定で,結局,二人の内で一人になったのだから, ラッキーと考えた.
ここで,問題は
$\bullet$ この$A_1$さんは本当にラッキーになったのだろうか？
である.


9.10.2: 解答(ベイズ統計学): モンティ・ホール問題 [resp. 三囚人の問題 ]



デカルト図式を確認しよう。
  • デカルト図式9.7: "測定"(=二元論)のイメージ

二元論(物心二元論)の対立関係

\begin{align} \mbox{ "測定者$\longleftrightarrow$物" } \end{align} は、以下のようになる。


離散距離空間$\Omega$を $\Omega = \{ \omega_{1} , \omega_{2} , \omega_{3} \}$ とする. ここで,各状態 $\delta_{\omega_{{m}}} (\in {\frak S}^p (C(\Omega)^* ))$ は,次を意味するとする.

\begin{align} & \textcolor{magenta}{\mbox{ $ \delta_{\omega_{{m}}} \Leftrightarrow $ }} \textcolor{magenta}{ \mbox{ドア$A_m$の後ろに『自動車』がある状態} } \\ \;\;\; & \textcolor{blue}{\mbox{ $ \delta_{\omega_{{m}}} \Leftrightarrow $ }} \textcolor{blue}{ \mbox{囚人$A_m$が恩赦を受ける状態} } %] \\ & \qquad \qquad (m=1,2,3 ) \tag{9.31} \end{align}

$C(\Omega)$内の観測量 ${\mathsf O}_1$ $\equiv$ $({}\{ 1, 2,3 \}, 2^{\{1, 2 ,3\}}, F_1)$を以下のように定める.

\begin{align} & [F_1({}\{ 1 \}{})](\omega_1{})= 0.0,\qquad [F_1({}\{ 2 \}{})](\omega_1{})= 0.5, \qquad [F_1({}\{ 3 \}{})](\omega_1{})= 0.5, \nonumber \\ & [F_1({}\{ 1 \}{})](\omega_2{})= 0.0, \qquad [F_1({}\{ 2 \}{})](\omega_2{})= 0.0, \qquad [F_1({}\{ 3 \}{})](\omega_2{})= 1.0, \nonumber \\ & [F_1({}\{ 1 \}{})](\omega_3{})= 0.0,\qquad [F_1({}\{ 2 \}{})](\omega_3{})= 1.0, \qquad [F_1({}\{ 3 \}{})](\omega_3{})= 0.0, \tag{9.32} \end{align}

問題9.23の仮定$(\sharp_1)$ [resp. 問題9.24の仮定$(\sharp_2)$ ] より,混合状態$\nu_0(\in {\frak S}^m(C(\Omega)^* ))$ は \begin{align*} \nu_0 = p_1 \delta_{\omega_1} + p_2 \delta_{\omega_2}+p_3 \delta_{\omega_3} \end{align*}

となり, 混合測定 ${\mathsf M}_{C(\Omega )} ({\mathsf O}_1, S_{[\ast ]}(\nu_0))$ を得る.

「測定 ${\mathsf M}_{C({}\Omega{})} ({}{\mathsf O}_1, S_{[{}\ast{}]})$を行う」 とは,

$\bullet$ $\quad$ $ \begin{cases} \textcolor{magenta}{ \mbox{ あなたが「ドア$A_1$」と言う } } \\ \textcolor{blue}{ \mbox{ 「囚人$A_1$」が皇帝に「他の二人のどっちが死刑か？」と問う } } \end{cases} $
である.
したがって,次の対応を考える.
$(a):$ 測定 ${\mathsf M}_{C({}\Omega{})} ({}{\mathsf O}_1, S_{[{}\ast{}]}(\nu_0))$により, 測定値「1」を得る
$ \Leftrightarrow \begin{cases} \textcolor{magenta}{ \mbox{司会者が「ドア$A_1$の後ろに 『羊』がいる」と言う } } \\ \textcolor{blue}{ \mbox{皇帝が「囚人$A_1$ は死刑になる」と言う } } \end{cases} $
$(b):$ 測定 ${\mathsf M}_{C({}\Omega{})} ({}{\mathsf O}_1, S_{[{}\ast{}]}(\nu_0))$により, 測定値「2」を得る
$ \Leftrightarrow \begin{cases} \textcolor{magenta}{ \mbox{司会者が「ドア$A_2$の後ろに 『羊』がいる」と言う } } \\ \textcolor{blue}{ \mbox{皇帝が「囚人$A_2$ は死刑になる」と言う } } \end{cases} $
$(c):$ 測定 ${\mathsf M}_{C({}\Omega{})} ({}{\mathsf O}_1, S_{[{}\ast{}]}(\nu_0))$により, 測定値「3」を得る
$ \Leftrightarrow \begin{cases} \textcolor{magenta}{ \mbox{司会者が「ドア$A_3$の後ろに 『羊』がいる」と言う } } \\ \textcolor{blue}{ \mbox{皇帝が「囚人$A_3$ は死刑になる」と言う } } \end{cases} $





さて, 問題9.21(モンティホール問題) [resp. 問題9.22(三囚人の問題) ]では, 上の(c)の場合なので、 すなわち、 「測定 ${\mathsf M}_{C({}\Omega{})} ({}{\mathsf O}_1, S_{[{}\ast{}]}(\nu_0))$により, 測定値「3」を得る」 を意味する.

したがって, ベイズの方法 より, 事後状態$\nu_{\rm post}$ $({}\in {\cal M}_{+1}^m ({}\Omega{}){})$ は次のようになる.

\begin{align} \nu_{\rm post} = \frac{F_1(\{3\}) \times \nu_0} {\bigl\langle \nu_0, F_1(\{3\}) \bigr\rangle}. \tag{9.33} \end{align} すなわち, \begin{align} & \nu_{\rm post} ({}\{ \omega_1 \}{})= \frac{\frac{p_1}{2}}{ \frac{p_1}{2} + p_2 }, \quad \nu_{\rm post} ({}\{ \omega_2 \}{})= \frac{p_2}{ \frac{p_1}{2} + p_2 }, \quad \nu_{\rm post} ({}\{ \omega_3 \}{}) = 0. \tag{9.34} \end{align} したがって,
$(B'_1):$ 問題9.23(モンティ・ホール問題) では \begin{align*} \begin{cases} \mbox{ もし $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_1 \}{})$ $<$ $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_2 \}{})$ (i.e., $p_1 < 2 p_2 $)ならば, あなたは ドア$A_2$を選ぶべき} \\ \mbox{ もし $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_1 \}{})$ $=$ $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_2 \}{})$ (i.e., $p_1 = 2 p_2 $)ならば, どちらでも可} \\ \mbox{ もし $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_1 \}{})$ $>$ $\nu_{\rm post} ({}\{ \omega_2 \}{})$ (i.e., $p_1 > 2 p_2 $)ならば,あなたは ドア$A_1$を選ぶべき} \end{cases} \end{align*}
$(B'_2):$ 問題9.24(三囚人問題) では, \begin{align*} \begin{cases} \mbox{ もし$ \nu_{0} (\{\omega_1\}) < \nu_{\rm post} (\{\omega_1\})$ (i.e., $p_1 < 1- 2 p_2$)ならば, 囚人$A_1$の幸福度は増大 } \\ \mbox{ もし$ \nu_{0} (\{\omega_1\}) = \nu_{\rm post} (\{\omega_1\})$ (i.e., $p_1 = 1- 2 p_2$)ならば, 囚人$A_1$の幸福度は不変} \\ \mbox{ もし$ \nu_{0} (\{\omega_1\}) > \nu_{\rm post} (\{\omega_1\})$ (i.e., $p_1 > 1- 2 p_2$)ならば, 囚人$A_1$の幸福度は減少} \\ \end{cases} \end{align*}
となる