9.7.1:等重率(=等確率の原理)─最も簡単で有名な未解決問題




モンティ・ホール問題 (問題9.15(フィッシャーの最尤法)，問題9.16(ベイズの方法)) をもう一度考え直そう． 次が モンティ・ホール問題 のベイズの方法による解答のもう一つの決定版と考える (また、もう一つの決定版は問題19.5を見よ).


問題9.17 [モンティホール問題(等重率(=等確率の原理))]
$\quad$ あなたはゲームショーに出演している． 3つのドア (すなわち，「1番」,「2番」,「3番」) のうちの 1つのドアの後ろには{自動車}, 他の2つのドアの後ろには 羊(はずれ)が隠されている． 司会者は， どのドアの後ろに自動車が隠されているかを 知っている． しかし，あなたはそれを知らない． 司会者は問う: 「どのドアの後ろが自動車だと思いますか？」 ここで， あなたは次のようにしてドアを選ぶとする．
$(\sharp):$ あなたはサイコロを投げて， 出た目が1，2 ならば 1番ドア， 3，4 ならば 2番ドア， 5，6 ならば 3番ドア を選ぶとする．


このようにして， たとえば, 1番のドアを選んだとする．このとき， 司会者が 「実は，3番ドアの後ろは羊です」 と言う． 更に，司会者は問う． 「あなたは1番のドアを選んでしまいましたが， 今からでも変更可能ですよ． 2番のドア に変更しますか？ 」と． さて，あなたはどうするか？


解答 問題9.15と問題9.16 (モンティ・ホール問題) のように， 状態空間$\Omega = \{ \omega_1 , \omega_2 , \omega_3 \}$ と 観測量 ${\mathsf O}=(X, {\cal F}, F)$ を定める． 写像 $\phi:\Omega \to \Omega $ を \begin{align*} \phi(\omega_1) =\omega_2, \quad \phi(\omega_2) =\omega_3, \quad \phi(\omega_3) =\omega_1 \quad \end{align*} で定めて， 因果作用素$\Phi:L^\infty(\Omega) \to L^\infty(\Omega)$ を $[\Phi(f)](\omega) = f(\phi(\omega))$ $(\forall f \in L^\infty(\Omega), \;\forall \omega \in \Omega )$ で定める (因果作用素については,次章以降で議論するので,ここでは深入りしない). さて， 自動車が$k$番ドアの後ろに置いてあるとしよう$(k=1,2,3)$． ここで，次が言える:

$(a):$ $ \text{サイコロの出た目が} \left[\begin{array}{ll} 1,2 \\ 3,4 \\ 5,6 \end{array}\right] \text{ならば，測定} \left[\begin{array}{ll} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, S_{[{}\omega_k{}]}) \\ {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} (\Phi{\mathsf O}, S_{[{}\omega_k{}]}) \\ {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} (\Phi^2{\mathsf O}, S_{[{}\omega_k{}]}) \end{array}\right] を行う $
である． 問題9.16の繰り返しになるが， たとえば， サイコロの目が「3」だったとしたら， あなたは測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} (\Phi {\mathsf O}, S_{[{}\ast{}]})$ ─ 「3番ドアの後ろに自動車が隠れている」 と言って， 司会者の反応を見る測定 ─ を行うことになる． ここで，
$(b1):$ 測定${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} (\Phi{\mathsf O}, S_{[{}\omega_k{}]})$の測定値が$\Xi (\in {\mathcal F} )$に属する確率は,$[\Phi (F(\Xi)](\omega_k)$である
$(b2):$ 測定${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, S_{[{}\phi(\omega_k){}]})$の測定値が$\Xi (\in {\mathcal F} )$に属する確率は,$[ (F(\Xi)](\phi(\omega_k))$ (= $[\Phi (F(\Xi)](\omega_k)$ )である
この意味で,次の同一視： \begin{align*} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} (\Phi{\mathsf O}, S_{[{}\omega_k{}]}) \underset{同一視}{\longleftrightarrow} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, S_{[{}\phi(\omega_k){}]}) \end{align*} を考える.　 同様に, \begin{align*} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} (\Phi^2{\mathsf O}, S_{[{}\omega_k{}]}) \underset{同一視}{\longleftrightarrow} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, S_{[{}\phi^2 (\omega_k){}]}) \end{align*}

と考える. したがって, 上の(a)は， 次と同一視できる.

$(c):$ $ \text{サイコロの出た目が} \left[\begin{array}{ll} 1,2 \\ 3,4 \\ 5,6 \end{array}\right] \text{ならば，測定} \left[\begin{array}{ll} {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, S_{[{}\omega_k{}]}) \\ {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, S_{[{}\phi (\omega_k){}]}) \\ {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, S_{[{}\phi^2(\omega_k){}]}) \end{array}\right] を行う $

ここで， $\frac{1}{3}(\delta_{\omega_k}+\delta_{\phi(\omega_k)} +\delta_{\phi^2 (\omega_k)})$ $=$ $\frac{1}{3}(\delta_{\omega_1}+\delta_{\omega_2} +\delta_{\omega_3})$ $(\forall k=1,2,3)$ に注意せよ． したがって， この(c)は， 次を満たす混合状態$w_e (\in L^1_{+1}(\Omega ))$ に対する 混合測定 ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega)} ({\mathsf O}, {\overline S}_{[{}\ast{}]}(w_e ))$ と等しい．すなわち,

\begin{align*} \int_\Omega w_e(\omega) \phi(\omega) \nu(d \omega) =\frac{1}{3}(\phi(\omega_1) + \phi (\omega_2 ) + \phi (\omega_3)) \quad (\forall \phi \in C_0(\Omega )) \end{align*} これと同値の意味で, \begin{align*} w_e(\omega ) = 1/3 \qquad(\forall \omega \in \Omega ) \end{align*} よって， この 問題9.17 は， 問題9.16に帰着する． したがって， あなたは 2番ドアを選ぶべきと結論できる．
$\square \quad$




$\fbox{注釈9.4}$ 上の議論は，簡単な理屈で， 「あなた(=測定者)は どのドアか知らないのだから，フェアなサイコロを投げて決めた」 と考えただけである．
しかし，この仕組みを測定理論で記述することは， 上述のように簡単とは言えない． たとえば，問題9.17 の $(\sharp)$で， 測定者がアンフェアなサイコロ投げをしたとしたら， 計算できなくなって何も言えなくなってしまう． このことは， 問題9.16の $(\sharp)$では，ゲームの主催者がアンフェアなサイコロ投げをしたとしても 計算可能であることとの比較の中で， 注意すべきである．

以上の議論から，等重率(=等確率の原理) は，次の定理9.18で示される．



定理 9.18 [等重率(=等確率の原理)] 状態空間$\Omega(\approx {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*))$を有限集合とする． すなわち， $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n\}$ として，測度$\nu$を $\nu(\{\omega_k \})=1/n \;\;(\forall \omega_k \in \Omega )$とする. ${\mathsf O}=(X, {\cal F}, F)$ を $L^\infty(\Omega)$内の観測量とする. 測定者が状態についての情報を持っていないときに， 通常は純粋測定$ {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega )}({\mathsf O} , S_{[ \ast]} ) $ を考える． しかし， 別の方法として， $w_e (\omega)= \frac{1}{n} \;\; (\forall \omega \in \Omega )$ として， 混合測定 $ {\mathsf M}_{L^\infty(\Omega )}({\mathsf O} , {\overline S}_{[ \ast]}(w_e) ) $ を考えることは， ( 問題9.17 の$({{\sharp}})$の意味では) 一理ある．

証明
証明は 問題9.17 の解答と同様な議論から容易にわかる. また、次を見よ。

$(\sharp):$ S. Ishikawa, "A 測定Theoretical Foundation of Statistics," Applied Mathematics, Vol. 3, No. 3, 2012, pp. 283-292
$\square \quad$
$\fbox{注釈9.5}$ この講義では、三つの等確率の原理を議論する：
$(\sharp_1):$ 注意5.19の等確率の原理($\S$5.6)
$(\sharp_2):$ 定理9.18の等確率の原理($\S$9.7)
$(\sharp_3):$ 公準18.4の等確率の原理($\S$18.2)