ここまでで, この章(7章)では、計算式が多くあったかもしれない。 しかし、「複雑な計算」の部分はあまり多くない. 以下に,「計算公式」として,まとめておく.

$\S$7.4.1 正規分布,$\chi$二乗分布,スチューデントの$t$-分,$F$-分布

定義7.6 [$F$分布 ]. ここで実数 $t \ge 0$ に対し $n_1$ と $n_2$ は正の整数とする. 自由度$(n_1,n_2)$の$F$-分布の確率密度関数 $p_{(n_1,n_2)}^F(t)$ は, \begin{align} p_{(n_1,n_2)}^F(t) = \frac{1}{B(n_1/2, n_2/2)} \Big(\frac{n_1}{n_2} \Big)^{n_1/2} \frac{t^{(n_1-2)/2}}{(1+n_1t/n_2)^{(n_1+n_2)/2}} \qquad (t \ge 0) \tag{7.71} \end{align} と定義される. ここで, $B(\cdot, \cdot)$はベータ関数で,$x, y > 0$として, \begin{align*} B(x, y ) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \end{align*} である.また,
  • 自由度$(1,n-1)$の$F$-分布 = 自由度$(n-1)$のスチューデントの$t$-分布
にも注意しよう.

二つの写像 $\overline{\mu}: {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ と $\overline{SS}: {\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$を次のように, 定める. \begin{align*} & \overline{\mu} (x)=\overline{\mu}(x_1, x_2, \cdots, x_n ) = \frac{\sum_{k=1}^n x_k }{n} \\ & \overline{SS} (x)=\overline{SS}(x_1, x_2, \cdots, x_n ) = {\sum_{k=1}^n (x_k - \overline{\mu} (x))^2 } \\ & \qquad( \forall x = (x_1, x_2, \cdots, x_n ) \in {\mathbb R}^n ) \end{align*}

公式 7.7[ガウス積分(正規分布と$\chi$二乗分布)] $\S6.2$の(6.6)式と(6.7)式.

公式 7.8 [ガウス積分($F$-分布)]. . For $c \ge 0$,　$c \ge 0$として,

\begin{align} \mbox{(A):$\;\;\;$} \qquad \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }}})^n} \underset{ c \le \frac{ n(\overline{\mu}(x))^2 }{ {\overline{SS}(x)}/({n-1}) } } {\int \cdots \int} \exp[- \frac{\sum_{k=1}^n ({x_k} )^2 } {2 } ] d {x_1} d {x_2}\cdots dx_n = \int^{\infty}_{ c } p_{(1,{{n}}-1) }^F(t) dt \tag{7.72} \end{align}

$\qquad \quad $ (B): For $n=\sum_{i=1}^a n_i$,

\begin{align} & \frac{1}{({{\sqrt{2 \pi }}})^{{{n}}}} \underset{ \frac{ (\sum_{i=1}^a n_i( x_{i \bullet} - x_{\bullet \bullet} )^2 /(a-1)}{ (\sum_{i=1}^a \sum_{k=1}^{n_i} (x_{ik} - x_{i \bullet})^2)/({{n}}-a) } > c } {\int \cdots \int} \exp[- \frac{ \sum_{i=1}^a \sum_{k=1}^{n_i} ({x_{ik}} )^2 } {2 } ] \times_{i=1}^a \times_{k=1}^{n_i} d {x_{ik}} \nonumber \\ = & \int^{\infty}_{c} p_{(a-1,{{n}}-a) }^F(t) dt \tag{7.73} \end{align} \begin{align} \mbox{(C)} \;\; & \frac{1} {({ {\sqrt{2 \pi }} })^{abn}} \underset{ \frac{ \frac{ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b( x_{ij \bullet} - x_{\bullet \bullet \bullet} )^2}{(a-1)} }{ \frac{ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^n (x_{ijk} - x_{ij \bullet})^2 }{ab(n-1)} } > c } {\int \cdots \int} \exp[- \frac{ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n (x_{ijk} )^2 }{2 } ] \times_{k=1}^n \times_{j=1}^b \times_{i=1}^a d{x_{ijk} } \nonumber \\ = & \int^{\infty}_c p_{(a-1,ab(n-1)) }^F(t) dt \tag{7.74} \end{align}

同じことであるが,

\begin{align} \mbox{(D):$\;\;\;$} & \frac{1} {({ {\sqrt{2 \pi }} })^{abn}} \underset{ \frac{ \frac{ \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b( x_{i j \bullet } - x_{i \bullet \bullet } - x_{\bullet j \bullet } + x_{\bullet \bullet \bullet } )^2}{(a-1)(b-1)} }{ \frac{\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^n (x_{ijk} - x_{ij \bullet})^2}{ ab(n-1) } } > c } {\int \cdots \int} \exp[- \frac{ \sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^b \sum_{k=1}^n (x_{ijk} )^2 }{2} ] \times_{k=1}^n \times_{j=1}^b \times_{i=1}^a d{x_{ijk} } \nonumber \\ = & \int^{\infty}_{c} p_{((a-1)(b-1),ab(n-1)) }^F (t) dt \tag{7.75} \end{align}