5.4:モーメント法　(人為的だが役に立つ)

測定${\mathsf M}_{\cal A} \bigl({}{\mathsf O} \equiv (X,{\mathcal F}, F) ,$ $ S_{[\rho] } \bigl)$の $n$回の 並行測定 $\otimes_{k=1}^n {\mathsf M}_{\cal A} \bigl({}{\mathsf O} \equiv (X,{\mathcal F}, F) ,$ $ S_{[\rho] } \bigl)$ (= ${\mathsf M}_{\otimes {\cal A}} \big({} \bigotimes_{k=1}^n {\mathsf O} := ( X^n,{\mathcal F}^n, \bigotimes_{k=1}^n F ) , S_{ [{}\otimes_{k=1}^n \rho{}]}{}\big)$ の測定値が, $(x_1,$ $ x_2 ,$ $ ...,$ $ x_n ) (\in X^n)$ だったとしよう. $n$は十分大きいとして, 大数の法則から, \begin{align} {\mathcal M_{+1}(X)} \ni \nu_n \Big( \equiv \frac{\delta_{x_1}+\delta_{x_2}+ \cdots + \delta_{x_n}}{n} \Big) ≒\rho ( F (\cdot )) \in {\mathcal M_{+1}(X)} \tag{5.18} \end{align} と考えてよいだろう. それならば, 状態$\rho (\in {\frak S}^p({\mathcal A}^*))$を未知として,

測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }} ({\mathsf O} {{=}}$ $ ( \{ 白,$ $ 黒 \},$ $ 2^{\{ 白, 黒 \} } ,$ $ F{}) , S_{ [{}{\ast}]}{})$ を考える．ここで, $L^\infty(\Omega{})$内の観測量 ${\mathsf O}_{白黒} = ( \{ 白, 黒 \}, 2^{\{ 白, 黒 \} } , F_{白黒}{})$ を次のように定義する： \begin{align*} & [F_{白黒}(\{ 白 \}{})](\omega_1{})= 0.8, & \quad & [ F_{白黒}(\{ 黒 \}{})](\omega_1{})= 0.2 \nonumber \\ & [F_{白黒}(\{ 白 \}{})](\omega_2{})= 0.4, & \quad & [F_{白黒}(\{ 黒 \}{})] (\omega_2{})= 0.6 \end{align*} 測定値「白」を得たのだから, 近似サンプル空間$( \{ 白, 黒 \}, 2^{\{ 白, 黒 \} } , \nu_1{})$は \begin{align*} \nu_1(\{ 白 \})=1, \quad \nu_1(\{黒 \})=0 \end{align*} となる.

[未知状態 $[\ast]$ が$\omega_1$のとき] \begin{align*} (5.19)=|1-0.8|+|0-0.2|=0.4 \end{align*}

[未知状態 $[\ast]$が $\omega_2$のとき] \begin{align*} (5.19)=|1-0.4|+|0-0.6|=1.2 \end{align*} よって，モーメント法($B_1$)により， 状態$\omega_1$が推定できて， したがって， カーテンの後ろの壷は$U_1$ であることが推定できる．

簡単すぎて, 大数の法則が見えなくなっていて, 却って難しくなってしまったかもしれないので, もう一つ次の問題を補足しておく.

同時測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }} (\times_{k=1}^{7}{\mathsf O} {{=}}$ $ ( \{ 白,$ $ 黒 \}^7,$ $ 2^{{\{ 白, 黒 \} }^7} ,$ $\times_{k=1}^{7} F{}) , S_{ [{}{\ast}]}{})$ の測定値が, (白, 黒, 黒, 白, 黒, 白, 黒 )と考えて, 「フィッシャーの最尤法」を使ってもよいが, ここでは, モーメント法で解答しよう.
[未知状態 $[\ast]$ が$\omega_1$のとき] \begin{align*} (5.19) =|3/7-0.8|+|4/7-0.2|=52/70 \end{align*}

[未知状態 $[\ast]$が $\omega_2$のとき] \begin{align*} (5.19) =|3/7-0.4|+|4/7-0.6|=10/70 \end{align*} よって，($B_1$)により， 状態$\omega_2$が推定できて， したがって， カーテンの後ろの壷は$U_2$ であることが推定できる．

状態空間$\Omega (\approx {\frak S}^p(C_0(\Omega)^*))$ を $\Omega={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+$ $=\{ \omega =(\mu , \sigma ) \; |\; \mu \in {\mathbb R}, \sigma >0 \}$ として， $L^\infty ({\Omega}{})$ 内の 観測量 ${\mathsf O}_{G} $ ${{=}}$ $(X(={}{\mathbb R}) , {\cal B}_{{\mathbb R}}^{} , G{})$は 次を満たすとする

\begin{align*} & \int_{\mathbb R} \xi [G( d \xi )](\mu, \sigma )=\mu, \quad \int_{\mathbb R} (\xi -\mu)^2 [G( d \xi )](\mu, \sigma )=\sigma^2 \\ & \quad \qquad ( \forall {\omega}=(\mu, \sigma) \in \Omega (={\mathbb R} \times {\mathbb R}_+ ){}) \end{align*} ここに，${\cal B}_{\mathbb R}$はボレル集合体 とする． このとき， 同時測定 ${{{\times}}}_{k=1}^3{\mathsf M}_{L^\infty(\Omega )} ({\mathsf O}_{G}, S_{[{}\ast{}] }{})$ によって,$(x_1, x_2, x_3 ) (\in {\mathbb R}^3)$が得られたとしよう. したがって,3標本分布$\nu_3$は \begin{align*} \nu_3 = \frac{ \delta_{x_1}+\delta_{x_2}+\delta_{x_3}}{3} \in {\mathcal M}_{+1}({\mathbb R}) \end{align*} となる. $$f_1(\xi)=\xi, \quad f_2(\xi)=\xi^2$$ としよう. モーメント法($B_3$)より, \begin{align*} 0=& \sum_{k=1}^2 \Big| \int_{\mathbb R} \xi^k \nu_3 (d \xi ) - \int_{\mathbb R} \xi^k [G(d \xi )](\omega) \Big| \\ = & \sum_{k=1}^2 \Big| \frac{({x_1})^k+({x_2})^k+ ({x_n})^k}{3} - \int_{\mathbb R} \xi^k [G(d \xi )](\mu, \sigma) \Big| \\ = & \Big| \frac{{x_1}+{x_2}+ {x_3}}{3} - \mu \Big| + \Big| \frac{({x_1})^2+({x_2})^2+ ({x_3})^2}{3} - (\sigma^2 + \mu^2 ) \Big| \end{align*} よって, \begin{align*} \mu &=\frac{{x_1}+{x_2}+ {x_n}}{3} \\ \sigma^2 & = \frac{({x_1})^2+({x_2})^2+ ({x_3})^2}{3} -\mu^2 \\ & = \frac{({x_1}- \frac{{x_1}+{x_2}+ {x_n}}{3} )^2+({x_2}- \frac{{x_1}+{x_2}+ {x_n}}{3} )^2+ ({x_3} - \frac{{x_1}+{x_2}+ {x_n}}{3} )^2}{3} \end{align*} となる.正規分布を仮定していないにもかかわらず、これは,式(5.13)と同じであることに注意せよ.