さて、

  • 統計学は、誤差と因果関係の学問
なのだから、
  • 統計学は、量子言語(測定と因果関係)で記述される
と考えるのは自然である。 この章では、これについて述べる。

5.1.1 母集団(=システム)$\leftrightarrow$パラメター(=状態)

例 5.1 日本人全男性とアメリカ人全男性の身 長の確率密度関数をそれぞれ,$f_J$と$f_A$とする. すなわち,

\begin{align*} & \int_\alpha^\beta f_J(x) dx = \frac{\mbox{日本人男性で,身長が$\alpha$(cm)から$\beta$(cm)までの人数}}{\mbox{日本人男性の総人口}} \\ & \int_\alpha^\beta f_A(x) dx = \frac{\mbox{アメリカ人男性で,身長が$\alpha$(cm)から$\beta$(cm)までの人数}}{\mbox{アメリカ人男性の総人口}} \end{align*} とする. 同じ意味で,
$(A_1):$ 日本人男性全体（母集団$\leftrightarrow \omega_J$）から無作為に一人選んで, その人の身長が,身長が$\alpha$(cm)から$\beta$(cm)までの 確率は, \begin{align*} [F_{身長}([\alpha, \beta))](\omega_J) =\int_\alpha^\beta f_J(x) dx \end{align*} である.
$(A_2):$ アメリカ人男性全体（母集団$\leftrightarrow \omega_A$）から無作為に一人選んで, その人の身長が,身長が$\alpha$(cm)から$\beta$(cm)までの 確率は, \begin{align*} [F_{身長}([\alpha, \beta))](\omega_A) =\int_\alpha^\beta f_A(x) dx \end{align*} である.

さて，この日常言語の文言(A$_1$)と(A$_2$)を測定理論 の 言葉遣いで記述することを考える． $\Omega = \{ {\omega}_J , {\omega}_A \}$ として, 離散距離空間$(\Omega, d_D)$を考えて, 可換$C^*$代数$C_0(\Omega)$を得る. すなわち,

  • 古典基本構造$[ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$
を得る. ここで, \begin{align*} \nu(\{\omega_J \})=1, \;\; \nu(\{\omega_A \})=1 \quad \end{align*} $\Big(\text{注意：もちろん,} \nu(\{\omega_J \})=a, \;\; \nu(\{\omega_A \})=b \;\; (a,b >0) \mbox{でもよい} \Big)$. また, 純粋状態空間は \begin{align*} {\frak S}^p (C_0(\Omega)^*)= \{ \delta_{\omega_J} , \delta_{\omega_A} \} \approx \{ {\omega}_J , {\omega}_A \} = \Omega \end{align*} となる. ここで, ， \begin{align*} & \delta_{\omega_J} \quad \cdots \quad \text{"日本人全男性の集合$U_1$(母集団)の状態"}, \qquad \\ & \delta_{\omega_A} \quad \cdots \quad \text{"アメリカ人全男性の集合$U_2$(母集団)の状態"}, \end{align*}

として， 次の同一視を考える (したがって，図5.1のような状況を考える):

\begin{align*} U_1 \approx \delta_{\omega_J}, \qquad U_2 \approx \delta_{\omega_A} \quad \quad \end{align*}

$L^\infty (\Omega{})$内の観測量 ${\mathsf O}_{身長} = ( {\mathbb R}, {\mathcal B} , F_{身長}{})$ は(A)で定義したので, 測定 ${\mathsf M}_{L^\infty (\Omega)} ({\mathsf O}_{身長} , S_{ [{}{\delta_{\omega}}]}{})$ $(\omega \in \Omega =\{\omega_J, \omega_A \})$ を得る． よって，上述の(A) ((A$_1$)と(A$_2$))は， 測定理論の言葉で次のように記述できる:

$(B):$ 測定 $ \left[\begin{array}{ll} {\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega)}} ({\mathsf O}_{身長} , S_{ [{}{\omega_J}]}{}) \\ {\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega)}} ({\mathsf O}_{身長} , S_{ [{}{\omega_A}]}{}) \end{array}\right] $ により得られた 測定値が 区間$[\alpha, \beta)$に属する確率は,
$ \qquad \qquad \left[\begin{array}{ll} {}_{{{C_0(\Omega) }^*}} \Big( \delta_{\omega_J} , F_{身長}([\alpha, \beta) ) \Big){}_{L^\infty (\omega, \nu )} = [F_{身長}([\alpha, \beta) )](\omega_J) \\ {}_{{{C_0(\Omega) }^*}} \Big( \delta_{\omega_A} , F_{身長}([\alpha, \beta) ) \Big){}_{L^\infty (\omega, \nu )} = [F_{身長}([\alpha, \beta) )](\omega_A) \end{array}\right] $ となる．
したがって、次の翻訳を得る： \begin{align*} \underset{\mbox{(日常言語)}}{\fbox{文言(A)}} \xrightarrow[{\mbox{翻訳}}]{} \underset{\mbox{(量子言語)}}{\fbox{文言(B)}} \end{align*}

5.1.2: 正規観測量とスチューデントの$t$-分布

さて，
$(C):$ ある粒子の位置$\omega$ $(\in {\mathbb R})$を， 誤差が標準偏差$\sigma$の正規分布 となる近似測定を行なうこと
を考える．

標準偏差$\sigma >$を固定して, 可換$C^*$代数$C_0(\Omega)$において, $\Omega$ $(={\mathbb R}：実数全体)$ を状態空間とする． すなわち,

  • 古典基本構造$[ C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega, \nu ) \subseteq B(L^2 (\Omega, \nu ))]$

を得る. 測定値空間$X$も ${\mathbb R}$ として， $L^\infty ({\Omega}{})$ 内の 正規観測量 ${\mathsf O}_{G_\sigma} $ ${{=}}$ $(X(={}{\mathbb R}) , {\cal B}_{{\mathbb R}}^{} , G_{\sigma}{})$ を， 誤差関数(図5.2=図2.4) を用いて， 次のように定義する:

\begin{align} [G_{\sigma}(\Xi) ]( {\omega} {}) = \frac{1}{{\sqrt{2 \pi } \sigma}} \int_{\Xi} \exp \left[ {}- \frac{1}{2 \sigma^2 } ({x} - {\omega} {})^2 \right] d{x} \tag{5.1} \\ \quad (\forall \Xi \in {\cal B}_{{X}}^{}( ={\cal B}_{{\mathbb R}}^{}), \; \forall {\omega} \in \Omega (={\mathbb R} ){}) \nonumber \end{align}

ここに，${\cal B}_{\mathbb R}$はボレル集合体 とする． このとき， たとえば,

\begin{align} & \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\sigma}^{\sigma} e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} dx =0.683..., \qquad \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-2 \sigma}^{2 \sigma} e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} dx = 0.954..., \nonumber \\ & \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-1.96 \sigma}^{1.96 \sigma} e^{- \frac{x^2}{2 \sigma^2}} dx {\doteqdot} 0.95 \tag{5.2} \end{align} である．

$L^\infty (\Omega^n)$内の並列観測量 $\bigotimes_{k=1}^n {\mathsf O}_{G_\sigma}$ $=$ $({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{{\mathbb R}^n}, \bigotimes_{k=1}^n {G_\sigma})$ を考えて,これを

\begin{align*} K=\{(\omega , \omega, \ldots, \omega ) \in \Omega^n \;|\; \omega \in \Omega \} (\subseteq \Omega^n) \end{align*}

に制限する.　これは, $L^\infty (\Omega)$内の同時観測量 ${\mathsf O}^n$ $=$ $({\mathbb R}^n, {\mathcal B}_{{\mathbb R}^n}, {{{\times}}}_{k=1}^n {G_\sigma})$ を考えることと等しい. すなわち,



\begin{align} & [({{{\times}}}_{k=1}^n {G_\sigma})(\Xi_1 \times \Xi_2 \times \cdots \times \Xi_n )](\omega) = {{{\times}}}_{k=1}^n [G_{\sigma}(\Xi_k) ]( {\omega} {}) \nonumber \\ = & {{{\times}}}_{k=1}^n \frac{1}{{\sqrt{2 \pi } \sigma}} \int_{\Xi_k} \exp \left[ {}- \frac{1}{2 \sigma^2 } ({x_k} - {\omega} {})^2 \right] d{x_k} \quad (\forall \Xi_k \in {\cal B}_{{X}}^{}( ={\cal B}_{{\mathbb R}}^{}), \; \forall {\omega} \in \Omega (={\mathbb R} ){}) \tag{5.3} \end{align}

ここに，${\cal B}_{\mathbb R}$はボレル集合体 とする． このとき，$(x_1,x_2, \cdots, x_n )\in X^n (={\mathbb R}^n )$として,

\begin{align*} & \overline{x}_n = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n }{n} \\ & U_n^2 =\frac{(x_1 - \overline{x}_n)^2 + (x_2 - \overline{x}_n)^2+ \cdots +( x_n - \overline{x}_n)^2}{n-1} \end{align*}

として, 写像$\psi:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$を

\begin{align*} \psi (x_1, x_2, \ldots , x_n ) = \frac{\overline{x}_n - \omega}{U_n / \sqrt{n}} \end{align*}

と定めて, $L^\infty ({\mathbb R} )$内の観測量 ${\mathsf O}_{T_n^\sigma} $ ${{=}}$ $(X(={}{\mathbb R}) , {\cal B}_{{\mathbb R}}^{} , T_n^\sigma{})$ を

\begin{align} [T_n^\sigma (\Xi )](\omega ) = [G_\sigma(\{ ( x_1, x_2,...,x_n ) \in {\mathbb R}^n \;\;|\;\; \frac{\overline{x}_n - \omega }{U_n / \sqrt{n}} \in \Xi \})](\omega ) \quad (\forall \Xi \in {\mathcal F} ) \tag{5.4} \end{align}

で定義しよう.${\mathsf O}_{T_n^\sigma} $ ${{=}}$ $(X(={}{\mathbb R}) , {\cal B}_{{\mathbb R}}^{} , T_n{})$を$L^\infty({\mathbb R} )$内の スチューデントの$t$-観測量(or, スチュウデントの$t_n$-観測量) と言う. ここで,

\begin{align} f_n^\sigma (x)=\frac{\{\Gamma (n/2)}{\sqrt{(n-1)\pi} \Gamma ((n-1)/2)} (1 + \frac{x^2}{n-1})^{-n/2} \qquad \mbox{$( \Gamma$はガンマ関数)} \tag{5.5} \end{align} とおいて, \begin{align} [T_n^\sigma (\Xi )](\omega ) = \int_{\Xi} f_n^\sigma (x) dx \quad (\forall \Xi \in {\mathcal F} ) \tag{5.6} \end{align}

と表現できる. 右辺を見ればわかることであるが,$\omega$や$\sigma$に依存しない. また,

\begin{align*} & \lim_{n \to \infty } f_n^\sigma (x)= \lim_{n \to \infty } \frac{\Gamma (n/2)}{\sqrt{(n-1)\pi} \Gamma ((n-1)/2)} (1 + \frac{x^2}{n-1})^{-n/2} \\ = & \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{x^2}{2}} \end{align*}

なので, $n$が$30$以上ならば,$N(0,1)$( すなわち,平均値$0$,標準偏差$1$の正規分布) と考えてもよい.

統計学は著者の専門外であるが、次の二つの両立は不思議と思う。

$(\sharp_1):$ なんでも大雑把に正規分布を仮定する
$(\sharp_2):$ 一旦正規分布と仮定したら、それからは(スチューデントの$t$-観測量のような)詳細な解析を行う。

著者は、理論家より応用家を信用している。「大雑把+大雑把」または「詳細+詳細」ならわかる。 しかし、 その応用家が「雑な$(\sharp_1)$と詳細な$(\sharp_2)$」を現場で長年行っているのだとしたら、 それなりの必然性があるのだろうが、不思議な気がしないでもない。