この節では、ハイゼンベルグの不確定性原理の数学的定式化を示す。

4.3.2: ハイゼンベルグの不確定性原理の数学的定式化
4.3.2.1 準備

基本構造 $[{\mathcal C}(H) \subseteq B(H)]_{B(H)}$ を考える. $A_i$ $(i=1,2)$をヒルベルト空間$H$上の任意の(非有界)自己共役作用素とする.  たとえば, 正準交換関係$[A_1 , A_2](:=A_1 A_2 - A_2 A_1 ) =\hbar \sqrt{-1}I$を満たすと仮定してもよい. 実軸${\mathbb R}$とそのボーレル集合体${\cal B}_{\mathbb R} $を考える. 自己共役作用素$A_i$のスペクトル分解$A_i=\int_{\mathbb R} \lambda F_{A_i}( d \lambda )$を使って, 射影観測量${\mathsf O}_{A_i}=({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_i} )$ を定める. 次の二つの測定を 同時測定 したい.



$(B_1):$ ${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_1} ),$ $ S_{[\rho_u]})$ $\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u, A_1 u \rangle$ \item[(B$_2$)]${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_2}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_2} ),$ $ S_{[\rho_u]})$ $\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u, A_2 u \rangle$
\begin{align*} (\forall \rho_u= |u\rangle \langle u | \in {\frak S}^p({\mathcal C}(H)^*))\end{align*}

しかしながら, $A_1 A_2 - A_2A_1=0$とは限らないので(すなわち, 二つの射影観測量${\mathsf O}_{A_1}$と${\mathsf O}_{A_2}$は可換とは仮定していないので), 同時観測量${\mathsf{O}_{A_1}}\times {\mathsf{O}_{A_2}}$の存在は期待できないので,

  • 一般には,この二つの測定を同時測定することはできない

すなわち,

$(B_2):$ ${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}}\times {\mathsf{O}_{A_2}},$ $ S_{[\rho_u]})$ は不可となる. そうならば,
  • 「さて,どうするか?」
である.

このために, 上の二つの測定を次のように言い換えよう.

もう一つの別のヒルベルト空間$K$を考えて, $s(\in K)$を$\| s \|=1$のようにとる. また, $B(H \otimes K)$内の二つの観測量${\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_1} \otimes I )$と${\mathsf{O}_{A_2\otimes I}}{\; :=} ({\mathbb R}, {\cal B}, F_{A_2}\otimes I )$を考える.  また, 状態を

\begin{align*} \textcolor{red}{\bf \mbox{ 状態${\widehat \rho}_{us}=|u \otimes s \rangle \langle u \otimes s|$}} \end{align*} と定めて, 次の二つの測定を考える.

$(C_1):$ ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$ $\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,( A_1 \otimes I)( u\otimes s ) \rangle= \langle u, A_1 u \rangle$
$(C_2):$ ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{A_2 \otimes I}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$ $\qquad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,( A_2 \otimes I)( u\otimes s ) \rangle=\langle u, A_2 u \rangle$
当然のことであるが, この二つはそれぞれ上の二つの(B$_1$)と(B$_2$)と同じと見なせる. すなわち, \begin{align*} \mbox{(C$_1$)=(B$_1$) $\quad$ (C$_2$)=(B$_2$)} \end{align*}

である. したがって(または, ${\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}}$と${\mathsf{O}_{A_1 \otimes I}}$は一般には可換でないので), 上の二つの測定を同時測定することはできない. したがって,何の進展もなかったわけで,

$(C_3):$ ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{A_1\otimes I}}\times {\mathsf{O}_{A_2\otimes I}},$ $ S_{[{\widehat{\rho}_{us}}]})$ は不可となる. そうならば, 
  • 「さて,どうするか?」
これを進展させるために, 以下のような工夫をして,
  • 「${A_1\otimes I}$と${A_2\otimes I}$の同時測定もどき${\widehat A}_1$と${\widehat A}_2$」
を考える.
準備 4.11 ${\widehat A}_i$ $(i=1,2)$をテンソル ヒルベルト空間$H \otimes K$上の 任意の可換な自己共役作用素とする. すなわち, \begin{align} [{\widehat A}_1, {\widehat A}_2](:= {\widehat A}_1{\widehat A}_2- {\widehat A}_2{\widehat A}_1)=0 \tag{4.21} \end{align} とする. ${\widehat A}_i$のスペクトル表現${\widehat A}_i=\int_{\mathbb R} \lambda F_{{\widehat A}_i}( d \lambda )$を使って, $B(H \otimes K)$内の観測量${\mathsf O}_{{\widehat A}_i}=({\mathbb R}, {\cal B}, F_{{\widehat A}_i} )$を定める. ここで, 次の二つの測定を考える:

$(D_1):$ ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$ $\quad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,\widehat{A}_1( u\otimes s ) \rangle$
$(D_2):$ ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$ $\quad \xrightarrow[期待値]{}\langle u\otimes s,\widehat{A}_2( u\otimes s ) \rangle$
今度は, 可換条件から, 同時観測量 ${\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}}=({\mathbb R}^2, {\cal B}^2, F_{{\widehat A}_1} \times F_{{\widehat A}_2} )$が存在するから, 次の同時測定:
$(D_3):$ ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]}) $ $\quad \xrightarrow[期待値]{}( \langle u\otimes s,\widehat{A}_1( u\otimes s ) \rangle, \langle u\otimes s,\widehat{A}_2( u\otimes s ) \rangle) $
が実現できる.
ここで,
  • $(C_3)$の代替として,$(D_3)$を考える
次のように, ${\widehat N}_i$を定める. \begin{align} {\widehat N}_i := {\widehat A}_i -A_i \otimes I \quad (\text{したがって, } {\widehat A}_i={\widehat N}_i +A_i \otimes I) \tag{4.22} \end{align}

ここで, 誤差:$\Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}}$と${\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}} }$と次のように定義する.

\begin{align} & \Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}} = \| ({\widehat A}_i -A_i \otimes I) (u \otimes s) \| = \| {\widehat N}_i (u \otimes s) \| \tag{4.23} \\ & {\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}} =\| ( {\widehat N}_i - \langle {u \otimes s} , {\widehat N}_i (u \otimes s)\rangle ) (u \otimes s) \| \nonumber %\tag{8} \end{align} 次の不等式は常識だろう. \begin{align} \Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \ge {\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \tag{4.24} \end{align} また, 可換条件 (4.21)と(4.22)から次が言える. \begin{align} [{\widehat N}_1,{\widehat N}_2] + [{\widehat N}_1, A_2 \otimes I]+[A_1 \otimes I ,{\widehat N}_2] = -[A_1 \otimes I, A_2 \otimes I] \tag{4.25} \end{align}

ロバートソンの不確定性関係(cf.定理4.9)によって, $ | \langle u \otimes s , [\mbox{第一項}] ( u \otimes s) \rangle | $ は次のように評価できる.

\begin{align} 2 {\overline \Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot {\overline \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \ge | \langle u \otimes s , [{\widehat N}_1,{\widehat N}_2] ( u \otimes s) \rangle | \tag{4.26} \end{align}

しかし,今のところ, ここでは, $(C_3)$の代替として, $(D_3)$を考えたに拘わらず

\begin{align*} \mbox{ $A_i \otimes I$と${\widehat A}_i$には, いかなる関係も仮定していない } \end{align*} ことに注意しよう.

4.3.2.2: 平均値一致条件; 近似同時測定


次の仮定は自然である.
仮定 4.12 [平均値一致条件]. 次を仮定する. \begin{align} & \langle u \otimes s, {\widehat N}_i(u \otimes s) \rangle =0 \qquad ( \forall u \in H, i=1,2) \tag{4.27} \end{align} 同じ意味で, \begin{align} \langle u \otimes s, {\widehat A}_i(u \otimes s) \rangle = \langle u , {A}_i u \rangle \qquad ( \forall u \in H, i=1,2) \tag{4.28} \end{align} すなわち、 \begin{align*} &\mbox{測定${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_i}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$の測定値の平均値} \\ = & \langle u \otimes s, {\widehat A}_i(u \otimes s) \rangle \\ = & \langle u , {A}_i u \rangle \\ = & \mbox{測定${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{{A}_i}},S_{[{ \rho}_{u}]})$の測定値の平均値} \\ & \quad ( \forall u \in H, ||u||_H =1, i=1,2) \end{align*}

次の定義は重要である.
定義 4.13 [近似同時測定] $A_1$と$A_2$をヒルベルト空間$H$上の任意の(非有界)自己共役作用素とする. 四つ組$(K, s, \widehat{A}_1, \widehat{A}_2)$を$A_1$と$A_2$の 近似同時観測量 とする. すなわち,次を満たすとする。
$(E_1):$ $K$はヒルベルト空間. $s \in K$, $\| s \|_K=1$,$\widehat{A}_1$ と$\widehat{A}_2$は テンソルヒルベルト空間$H \otimes K$上の可換な(非有界)自己共役 作用素で次の平均値一致条件 (4.27) を満たす。 \begin{align} \langle u \otimes s, {\widehat A}_i(u \otimes s) \rangle = \langle u , {A}_i u \rangle \qquad ( \forall u \in H, i=1,2) \tag{4.29} \end{align}
平均値が一致するという意味で、 測定${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]}) $を (${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}},$ $ S_{[\rho_u]})$と ${\mathsf{M}}_{B(H)} ({\mathsf{O}_{A_1}},$ $ S_{[\rho_u]})$ の ) 近似同時測定 と言う.

また、
$(E_2):$ ${\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}}$ $(= \| (\widehat{A}_1-A_1 \otimes I)(u \otimes s) \| )$ and ${ \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}}$ $(= \| (\widehat{A}_2-A_2 \otimes I)(u \otimes s) \| )$ を近似同時測定 ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]})$ の 誤差 と呼ぶ。
「誤差」とは言っても、注釈4.1(in $\S$4.3.1)で述べたような「普通の意味での誤差$|$測定値-真の値$|$」ではない。 したがって、「不確定性」と言った方が用心深かったかもしれない。
補題 4.14 $A_1$と$A_2$をヒルベルト空間$H$上の任意の(非有界)自己共役作用素とする. 四つ組$(K, s, \widehat{A}_1, \widehat{A}_2)$を$A_1$と$A_2$の近似同時観測量とする. すなわち,平均値一致条件(4.27)を満たすとする. このとき,次が成立する.

\begin{align} & \Delta_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}}= {\overline \Delta}_{\widehat{N}_i}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \tag{4.30} \\ & \langle u \otimes s, [{\widehat N}_1, A_2 \otimes I](u \otimes s) \rangle = 0 \qquad ( \forall u \in H) \tag{4.31} \\ & \langle u \otimes s, [A_1 \otimes I, {\widehat N}_2](u \otimes s) \rangle =0 \quad ( \forall u \in H) \tag{4.32} \end{align}

したがって,ここまでの準備(ロバートソンの不確定性原理(4.20),(4.27), (4.29), (4.30), (4.31))によって, 次の「ハイゼンベルグの不確定性原理」を得る.

\begin{align} & {\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot { \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}} (= {\overline \Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot {\overline \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}} ) \ge \frac{1}{2} | \langle u , [A_1,A_2] u \rangle | \quad ( \forall u \in H \mbox{ such that } ||u||=1 ) \tag{4.33} \end{align} 上をまとめて次の定理をえる:
定理 4.15 [ハイゼンベルグの不確定性原理の数学的定式化] $A_1$と $A_2$をヒルベルト空間$H$上の(非有界)自己共役作用素とする. このとき,次が成立する.
$\mbox{(i):}$ $A_1$と$A_2$の近似同時観測量$(K, s, \widehat{A}_1, \widehat{A}_2)$が存在する.すなわち,$s \in K$, $\| s \|_K=1$で,$\widehat{A}_1$と$\widehat{A}_2$はテンソルヒルベルト空間$H \otimes K$上の 可換な(非有界)自己共役作用素であり,平均値一致条件(4.28)を満たす. したがって,近似同時測定 ${\mathsf{M}}_{B(H\otimes K)} ({\mathsf{O}_{{\widehat A}_1}}\times{\mathsf{O}_{{\widehat A}_2}},S_{[{\widehat \rho}_{us}]}) $が存在する.
$\mbox{(ii):}$ このとき, 次の不等式(ハイゼンベルグの不確定性原理)が成立する.
\begin{align} {\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot { \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}} (= {\overline \Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot {\overline \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}} ) & = \| (\widehat{A}_1-A_1 \otimes I)(u \otimes s) \| \cdot \| (\widehat{A}_2-A_2 \otimes I)(u \otimes s) \| \nonumber \\ & \ge \frac{1}{2} | \langle u , [A_1,A_2] u \rangle | \quad ( \forall u \in H \mbox{ such that } ||u||=1 ) \tag{4.34} \end{align}
$\mbox{(iii):}$ 特に。もし$A_1 A_2 - A_2 A_1 = \hbar \sqrt{-1}$ ならば、次が成立する: \begin{align} & {\Delta}_{\widehat{N}_1}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \cdot { \Delta}_{\widehat{N}_2}^{{\widehat{\rho}_{us}}} \ge \hbar/2 \quad ( \forall u \in H \mbox{ such that } ||u||=1 ) \\ & \tag{4.35} \end{align}
近似同時測定の存在定理(i)とハイゼンベルグの不確定性関係(ii)の証明は,次を見よ.

$(a):$ S. Ishikawa, "Mathematical Foundations of measurement theory,"Keio University Press Inc. 2006. ( download free), or, Rep. Math. Phys. Vol.29(3), 1991, pp.257--273
ハイゼンベルグの不確定性原理(ii)の証明は,(4.32})で示したように簡単であるが,近似同時測定の存在定理(i)は多少難しい.