講演のタイトルと概要(新しい順に並べてあります)
Titles and Abstracts
- 3月27日(金)
- 中村 文彦 氏(北海道大学・理学院・数学専攻)
- Periodicity of non-expanding piecewise linear maps and effects of random noises
- Abstract:
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We consider non-expanding piecewise linear maps described as S(x) = αx + β
(mod 1), where 0 < α, β < 1. This transformation is known as the Nagumo-Sato (NS) model.
The NS model corresponds to a special case of Caianiello's model, and it describes
simplified dynamics of a single neuron. In this talk, we can describe regions explicitly
in which S has a periodic point with period n for an arbitrary integer n, and clarify
that these regions are associated with the Farey series, which are already observed
experimentally. We shall explain a mathematical rigorous reason for a complexity of
a periodicity of S. Furthermore, we introduce an example that noises induce
the asymptotic periodicity even if an original transformation has no periodicity.
- 1月30日(金)
- Johannes Jaerisch 氏(早稲田大学)
- Thermodynamic formalism for the Poincar\'{e} exponents of normal subgroups of free Kleinian groups
- Abstract:
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For a free Kleinian group $G$ we investigate the spectrum of Poincar\'{e} exponents $\delta(N)$ where $N$ runs over all the normal subgroups of $G$. We review a result of Brooks (recently extended by Stadlbauer) stating that $\delta(G)=\delta(N)$ if and only if $G/N$ is amenable. Moreover, we discuss results of Roblin and Matsuzaki/Yabuki which bound $\delta(N)$ from below by $\delta(G)/2$. We focus on relations to the thermodynamic formalism in ergodic theory.
- 12月5日(金)
- 曽我 幸平 氏(慶應義塾大学・理工学部・数理科学科)
- 弱KAM理論とその数値解析について
- Abstract:
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Kolmogorov-Arnold-Moser理論は,近可積分Hamilton系の不変トーラス(KAMトーラス)についてその存在と測度評価を与える.KAMトーラスが存在することは,あるHamilton-Jacobi方程式のトーラス上で定義された古典解が存在することと同等である.この意味でKolmogorov-Arnold-Moser理論を「古典KAM理論」と呼ぶ.一般に,Hamilton-Jacobi方程式は,トーラス上で定義された古典解を持つことができない.しかしLipschitz連続な弱解の存在は,より広いクラスのHamilton-Jacobi方程式に対して,常に保証される.Albert Fathiは,近可積分とは限らないHamilton系について,対応するHamilton-Jacobi方程式の弱解を用いて,古典KAM理論に類似の理論を構築した.これを「弱KAM理論」という.
本講演では,弱KAM理論の概要を述べた後,弱KAM理論の数値解析的方法について講演者がこれまでに得た結果を紹介する.この数値解析的方法では,Hamilton-Jacobi方程式の周期的弱解を差分法によって直接構成することを基本とするが,近似の収束証明と誤差評価をするためには弱解(Lipschitz)/その微分(L^\infty)/特性曲線(力学軌道)を同時に近似する必要がある.この課題は,差分法の解析に確率過程と変分法を導入することで解決される.主結果は,弱KAM理論に登場する各種構造物(KAMトーラスを含む)の近似の収束証明/誤差評価である.
- 11月21日(金)
- 斉木 吉隆 氏(一橋大学大学院・商学研究科)
- 非双曲力学系の不安定周期軌道解析
- Abstract:
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力学系の双曲性を破綻させる典型的な構造として
(i) 安定多様体と不安定多様体の接構造
(ii) 不安定次元の異なる状態を移り渡るヘテロ次元サイクル
がある。本講演では、それらの構造をもつ具体的な力学系から
多数の不安定周期軌道を数値的に検出し、それらを用いて
力学系が生み出すダイナミクス、統計性質の特徴づけをおこなう。
(i) に関しては、周期倍分岐に由来する不安定周期軌道系列によって
接構造を特徴づけられることや、自然測度など力学系の統計性質を
特徴づけるために1980年代に双曲力学系に対して見出されていた
周期軌道展開公式を、周期軌道の双曲性の度合いを考慮することに
よって接構造をもつ力学系に対しても拡張できることを述べる。
また、パラメタを固定した力学系における各不安定周期軌道の
双曲性の度合いによって、パラメタを動かした際の分岐順が特定
できることも紹介する。
(ii) は高次元力学系に典型的な構造である。同期、非同期の状態を
行き来するダイナミクスをもつ力学系が、不安定次元の異なる状態を
移り渡ることを確認し、そのダイナミクスを不安定次元の異なる
不安定周期軌道を用いて特徴づける。
- 10月3日(金)
- 松田 能文 氏(青山学院大学大・理工学部)
- 回転数とモジュラー群の円周への作用
- Abstract:
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円周の向きを保つ二つの同相写像が半共役であることとそれらの回転数が等しいこととの同値性はポアンカレにより1880年代に示されている. この事実は群の作用の観点から考えると, 無限巡回群の円周への向きを保つ作用の半共役類が生成元の回転数により決定される, と言い換えられる. 一般の離散群の円周への向きを保つ作用の半共役類は全ての元の回転数と実有界オイラー類により決定され, 全ての元の回転数だけでは半共役類は一般には決定されない.
だが, 二つの有限巡回群の自由積に対して, 2次元軌道体の双曲構造により誘導されるいくつかの作用の半共役類が二つの因子の生成元及びそれらの積, という三つの元の回転数により決定されることが確かめられた. この結果は, 階数2の自由群の2次元特殊線型群SL(2,R)への既約表現の同型類が各因子の生成元およびそれらの積, という三つの元のトレースにより決定される, という回転数が発見される前の1870年頃からフリッケらにより知られている古典的結果の円周の向きを保つ同相群に対する類似とみなせる.
この講演では上の結果を位数2の巡回群と位数3の巡回群の自由積であるモジュラー群PSL(2,Z)の場合を中心に紹介する. 時間が許せば, 2次元軌道体の円周への向きを保つ作用の有界オイラー数など関連する話題についても紹介したい.
- 7月28日(月)
- 林 修平 氏(東京大学大学院・数理理学研究科)
- Sinks with relatively large immediate basins and a refinement of Mane's
C^1 generic dichotomy
- Abstract:
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A C^1 perturbation theorem creating sinks with relatively large
immediate basins of attraction under the existence of a non-atomic
ergodic measure admitting at most small positive Lyapunov exponents is
considered. Here "relatively large" means that they contain balls at
the sinks with radii proportional to the minimum distance between
distinct points of a large portion of the periodic orbit.
This is an application of the extended Ergodic Closing Lemma together
with a new selection lemma.
Using the theorem,
we prove a refinement of Mane's C^1 generic dichotomy for surface
diffeomorphisms, that is, C^1 generically they have either
(I) hyperbolicity; or
(II) (by taking the inverse if necessary) infinitely many
attracting periodic orbits each of which has either
(i) relatively large immediate basins of attraction or
(ii) a pathological feature.
These two properties strikingly contrast with each other in
the context of "observability" from numerical viewpoints. This "
observability" is formulated mathematically to clarify the advantage of
the property (i).
- 6月27日(金)
- 多羅間 大輔 氏(京都大学大学院・理学研究科)
- ユニタリー群上の一般化された自由剛体の力学系について
- Abstract:
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自由剛体(外力を受けない剛体)の運動は解析力学における
最も典型的な力学系の一つであり,その完全積分可能性や平衡点の安定性は
よく知られている.自由剛体の力学系は,数学的には3次元回転群の余接束上のHamilton力学系として定式化される.
この力学系は高次元回転群上の完全積分可能系へと一般化されることが
知られているが,平衡点の安定性はきわめて複雑である.自由剛体の力学系の
より一般のLie群上の完全積分可能系への一般化も知られているが,
その平衡点の安定性についてはあまり良く研究されてこなかった.
この講演では,ユニタリー群上の自由剛体の力学系をとりあげ,
その完全積分可能性や平衡点の安定性について述べる.
とくに,すべての平衡点が一般にLyapunov安定であることが示される.
- 5月23日(金)
- 徳永 裕介 氏(大阪大学大学院・理学研究科)
- Measures with maximum total exponent of $C^1$ diffeomorphisms with basic sets
- Abstract:
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Measures with maximum total exponent can be defined for a diffeomorphism
on a compact manifold. We prove that for any $C^1$-diffeomorphism with a basic set, there
exists a $C^1$-neighborhood satisfying the following properties. A generic element in the
neighborhood has a unique measure with maximum total exponent which is of zero entropy
and fully supported on the continuation of the basic set. To the contrary, we show that for
$r\geq 2$ any $C^r$-diffeomorphism with a basic set does not have a $C^r$-neighborhood
satisfying the above properties.
- 4月25日(金)
- 高橋 博樹 氏(慶應義塾大学・理工学部数理科学科)
- Lyapunov spectrum for Henon-like maps at the first bifurcation
- Abstract:
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For a strongly dissipative H\'enon-like map at the first bifurcation parameter
at which the uniform hyperbolicity is destroyed by the formation of tangencies inside the limit set,
we effect a multifractal formalism, i.e.,
decompose the set of non wandering points on the unstable manifold
into level sets of unstable Lyapunov exponent, and
give a partial description of the associated
\emph{Lyapunov spectrum} which encodes this decomposition.
Apart from a small exceptional set of levels, we derive a formula for
the Hausdorff dimension of the level sets in terms of
entropies and unstable Lyapunov exponents of invariant probability measures.
We show the convexity of the spectrum off the exceptional set.
講演者を募集中です。
セミナー会場は林修平氏(東京大学大学院数理科学研究科)にお世話いただいております。
連絡先:
斉木 吉隆 (yoshi.saikiQr.hit-u.ac.jp, replace Q with at-mark)
〒186-8601 東京都国立市中2-1
一橋大学大学院商学研究科
高橋 博樹 (hirokiQmath.keio.ac.jp, replace Q with at-mark)
〒223-8522 神奈川県横浜市港北区日吉3-14-1
慶應義塾大学理工学部数理科学科