2013年度 関東力学系セミナー
2013 Kanto Dynamical Systems Seminar
- 日 時:
- 月1, 2回程度 金曜15時00分より
- from 15:00, once or twice a month on Friday
- 場 所:
- 東京大学大学院 数理科学研究科棟(駒場)
(地図)
- Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo
(Map)
講演のタイトルと概要(新しい順に並べてあります)
Titles and Abstracts
- 3月14日(金)
- 講演者1: 高橋 博樹 氏(慶應義塾大学・理工学部数理科学科)
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Large deviation principle in one-dimensional dynamics
- Abstract:
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臨界点をいくつか持つ、区間上のC2級写像の反復合成による
力学系を考える。臨界値の軌道に沿う微分の増大度に関する弱い条件のもとで、
大偏差原理が成立することを示す。
微分の指数的増大度を持ち、さらにある技術的な条件を満たす2次写像
について大偏差原理が成立することはすでに[1] [2]で示されていた。
今回の結果は、はるかに広いクラスの写像に適用できる。
(Yong Moo Chung 氏(広島大学), Juan Rivera-Letelier 氏(PUC-Chile)との共同研究)
参考文献:
[1] Chung, Y. M. and Takahasi, H.: Large deviation principle for Benedicks-Carleson quadratic maps,
Commun. Math. Phys. 315 (2012), 803-826
[2] Chung, Y. M. and Takahasi, H.: Multifractal formalism for Benedicks-Carleson quadratic maps,
Ergod. Th. & Dynam. Sys. published online
- 講演者2: 斉木 吉隆 氏(一橋大学・大学院商学研究科)
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ヘテロ次元サイクルをもつ力学系の周期軌道解析
- Abstract:
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双曲性が崩れた系において、安定多様体と不安定多様体がなす
接構造に加えて、異なる不安定次元をもつ複数の状態を繋ぐヘテロ次元サイクル
が重要な構造として認識されている。本講演ではヘテロ次元サイクルをもつ
具体的な写像に対して数値的に検出された周期軌道を用いた解析を行い、
ヘテロ次元サイクルの存在が解に与える効果を考察する。
- 1月31日(金)
- 中野 雄史 氏(京都大学・人間環境学研究科)
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ランダムに摂動された2次元トーラス上の部分拡大写像のスペクトル解析
- Abstract:
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2次元トーラス上の部分拡大写像について、その転移作用素のスペクトル・ギャプのランダムな摂動に対する安定性を考える。双曲写像・拡大写像による力学系の統計的な性質(物理測度の存在や相関関数の指数的減衰、中心極限定理の成立など)を証明する典型的な方法の1つとして、対応する転移作用素の適切な関数空間上でのスペクトル・ギャップ(擬コンパクト性)を示す方法がある。この方法を双曲的な流れや本講演で扱うような部分双曲的な写像に適用しようとすると、拡大性も縮小性も十分にない方向(流れの方向・中立的な方向)の存在が大きな問題になる。F. Faure氏は本講演で扱う力学系について、中立的な方向に沿って転移作用素をフーリエ分解し、各周波数成分を半古典パラメータと見ることで、スペクトル・ギャップの存在が部分捕獲性と呼ばれる、随伴する標準写像の通有的な性質に帰着されることを示した。(この部分捕獲性は本質的には辻井正人氏によって以前より考えられていた。)本講演のメインの結果は、部分捕獲性を満たすような2次元トーラス上の部分拡大写像のスペクトル・ギャップの安定性であり、これは(Faure氏が行った)主シンボル計算・漸近展開公式では考えることができなかった剰余項部分に関する、二重シンボル計算等による詳細な半古典解析に基づく。ただし、これらの結果はかなり技術的なものとなるため、実際の講演では部分拡大写像の力学系の理解における超局所解析・半古典解析の視点の重要性の解説を中心的な目標として、重要かつ簡単な計算のみで話をすすめるようにする。本講演はJ. Wittsten氏との共同研究に基づく。
- 12月20日(金)
- 李 暁龍 氏(東京大学・数理科学研究科)
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On the generic index-change of three-dimensional homoclinic classes without domination
- Abstract:
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For C^1-generic diffeomorphisms on a closed manifold, if a homoclinic
class H(p) does not admit any dominated splittings, it exhibits quite
complicate phenomena. At present, very little is known of these
homoclinic classes even for simple questions. For instance, when dim(M)
is larger than two, does H(p) contain periodic points whose indices are
different from that of p? (Notice that Palis Conjecture supports a
positive answer to this question.) Under some hypothesis on eigenvalues
of p, we construct geometric perturbations which provide arbitrarily
weak contracting eigenvalues associated to a periodic point q
homoclinically related to p. As a consequence, the index of q can be
easily decreased by one inside the homoclinic class. This is a partial
extension of a result by Bonatti, Crovisier, Diaz and Gourmelon
published in 2013.
- 12月6日(金)
- 佐々田 槙子 氏(慶應義塾大学・理工学部数理科学科)
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ミクロな確率モデルのマクロなふるまいを導出するスケール極限
- Abstract:
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ミクロスコピック(微視的)な系のふるまいとマクロスコピック(巨視的)な
系の性質をつなぐ理論が統計力学であるが、特に非平衡系に対する統計力学の数学的な基礎付けはいまだ
発展途上である。本講演では、確率的に振る舞う相互作用のある多粒子系に対し、
その系のマクロな量の時間発展方程式を導出する手法である流体力学極限について、簡単な例を用いて
紹介する。流体力学極限は、確率論および統計力学においていまだ発展途上にある重要なテーマである。時間が許せば、
流体力学極限に関する最近の研究動向についても述べたい。
- 11月5日(火)(臨時セミナー@一橋大学)
- 寺本 央 氏(北海道大学・電子科学研究所)
(戸田 幹人 氏、 小松崎 民樹 氏との共同研究)
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力学系をみる二つの視点:軌道と分布の描像、の関係
- Abstract:
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力学系を調べる立場に、個々の軌道の時間発展を追跡する立場とそれらの軌道
の分布を追跡する立場の二つがある。分布の時間発展は分布が属する関数空間
に依存するが、例えば、L^2空間においては、力学系が混合的であれば、任意の
分布は定常分布に弱収束する。ある理想的な状況ではその空間での自己相関関
数も指数関数的に減衰する。一方で、個々の軌道はそれよりもはるかに複雑な挙
動を示す。個々の軌道の何らかの意味での集団平均をと ると集団分布に対応す
るはずであるが、両者の挙動は激しく対立するように見え、これらがどのように
整合しているのかは直ちには明らかではない。近年、集団分布ではなく、孤立
系における第二法則等の導出にも興味がもたれていること、また、一分子計測技
術の発展に伴い、バルクの分布だけではな く一分子の軌道を観測することも可
能になってきたこと、等の背景もあり、個々の軌道の動力学とその集団分布のそ
れとの関係を理解することが、それ らの今後の発展にとり重要になるのではな
いかと期待している。
この発表では、L^2空間のスペクトル測度の弱収束極限として軌道レベルでの
スペクトル重みを定義し、それらのスペクトルの比較を通じて二つの違いを言
語化することを試みる。測度の空間は一般には弱収束極限に関して閉じておら
ず、軌道レベルでのスペクトル重みは測度にはならない(コンパ クト集合上で定
義された力学系では、それは擬測度となる。)。この擬測度と測度との差異が、
軌道とL^2空間の分布の挙動の違いを理解するために鍵となると期待される。
本講演では、軌道レベルと分布レベルの記述が激しく対立する状況、つまり、
軌道レベルのスペクトル重みが測度ではなく擬測度となる場合を、力学系とそ
の軌道の性質を通じて分類することを試みる。例えば、力学系がある弱混合的な
確率不変測度を持っている場合、その不変測度に関してほとんど いたるところ
の初期条件から発する軌道のスペクトル重みは、擬測度であり測度にはならな
い、ということが示され、このような状況はある程度普遍的に存在する。時間
があれば、力学系の軌道の時系列データから対応する軌道レベルのスペクトル重
みを数値的に構成するためのアルゴリズム、および、 それを通じてどのような
力学系の性質を捉えることができるのか、等に関しても議論する。
- 10月4日(金)
- 児玉 大樹 氏(東京大学・数理科学研究科)
- Minimal $C^1$-diffeomorphisms of the circle which admit
measurable fundamental domains
測度論的基本領域を持つ円周上の極小微分同相写像
- Abstract:
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We construct, for each irrational number $\alpha$, a minimal
$C^1$-diffeomorphism of the circle with rotation number $\alpha$
which admits a measurable fundamental domain with respect to
the Lebesgue measure.
This is a joint work with Shigenori Matsumoto (Nihon University).
任意の無理数αに対して、回転数がαであり、ルベーグ測度について
基本領域を持つ円周上の極小微分同相写像を構成した。
これは松元重則氏(日本大学)との共同研究である。
Hiroki KODAMA and Shigenori MATSUMOTO, Minimal $C^1$-diffeomorphisms
of the circle which admit measurable fundamental domains,
Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), 2061-2067 [arXiv:1005.0585v2]
- 8月23日(金)
- 永井 康史 氏(慶應義塾大学・理工学部数理科学科)
- A relation between order of tilings and properties of corresponding dynamical systems
- Abstract:
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Morse-Thue数列は、完全にrandomでも完全に
deterministicでもない数列の例である。random/deterministicという
言葉の正確な意味にはコンセンサスがないが、Morse-Thue数列は
周期的でなく、かつ対応する力学系がweakly mixingでないという意味で
「半ばrandom、半ばdeterministic」である。このrandom/deterministicの
度合いは数列のorder、すなわち数列の離れた二つの部分にどの程度
相関があるかということと関係がある。本講演では数列(1次元のタイリング)
だけでなく、一般次元のタイリングにおけるこの関係について論じる。
- 6月28日(金)
- 山本 謙一郎 氏(東京電機大学・情報環境学部)
- Large deviations for systems with non-uniform structure
- Abstract:
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We use a weak Gibbs property and a weak form of
specification to derive level-2 large deviations principles
for symbolic systems equipped with a large class of
reference measures. This has applications to a broad class
of coded systems, including beta-shifts, S-gap shifts,
and their factors.
- 6月20日(木)(臨時セミナー@慶應義塾大学)
- 篠原 克寿 氏(合原最先端数理モデルプロジェクト)
- Non-uniformly hyperbolic dynamics: Through the looking examples
- Abstract:
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Non-uniformly hyperbolic dynamics is one of the most active research
areas in the recent study
of differential dynamical systems. In this lecture, starting from the
review of uniformly
hyperbolic systems, I will present some examples of robustly
non-uniformly hyperbolic systems.
The following is the tentative list of topics to be covered:
i) Review of Conley theory and Uniformly hyperbolic systems
ii) Bonatti-D\'{i}az's blender
iii) Examples
- 5月10日(金)
- 横山 知郎 氏(北海道大学・大学院理学研究院)
- Minimal sets of R-closed surface homeomorphisms
- Abstract:
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位相力学系の概念を使った低次元力学系の研究を紹介する.
特に,(概)周期性,再帰性,非遊走性などを通して,力学系を理解しようとしている.
具体的には,概周期性をさらに強くしたある性質を満たす低次元力学系は,
綺麗な構造を持っているか,もしくは,複雑な不変集合を持つ事を紹介する.
- 4月26日(金)
- 高橋 博樹 氏(慶應義塾大学・理工学部数理科学科)
- Prevalence of non-uniform hyperbolicity at the first bifurcation of the Hénon family
- Abstract:
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We consider strongly dissipative Hénon maps, around the first bifurcation parameter a*
at which the uniform hyperbolicity before the bifurcation is destroyed by the formation of homoclinic or heteroclinic
tangencies inside the limit set. In [Takahasi H.: Commun. Math. Phys. 312 17-85 (2012)],
it was proved that a* is a full Lebesgue density point of the set of parameters
for which the non-wandering set of the corresponding map is transitive, and Lebesgue almost
every initial point diverges to infinity under forward iteration. For these parameters,
we show that all Lyapunov exponents of all invariant ergodic Borel probability measures
are uniformly bounded away from zero, uniformly over all the parameters.
講演者を募集中です。
セミナー会場は林修平氏(東京大学大学院数理科学研究科)にお世話いただいております。
連絡先:
斉木 吉隆 (yoshi.saikiQr.hit-u.ac.jp, replace Q with at-mark)
〒186-8601 東京都国立市中2-1
一橋大学大学院商学研究科
高橋 博樹 (hirokiQmath.keio.ac.jp, replace Q with at-mark)
〒223-8522 神奈川県横浜市港北区日吉3-14-1
慶應義塾大学理工学部数理科学科