通常の統計学の本は、出だし( 確率論の初歩とか様々な分布とか )が面白いとは言えない。 面白く読むためには、

  • 「統計学=壺問題」
思い込んで、「確率論の初歩とか様々な分布とか」をスキップして、最重要な「フィッシャーの最尤法」を最初に理解することだと思う。

物理学者(実在的科学観)は科学者の中では少数派であって、ほとんどの科学者が言語的科学観の傘下にある。 しかし、実在的科学観はシンプルで、　たとえば、ニュートンとかマックスウェルやアインシュタインが偉いに決まっている。 一方、言語的科学観の方は、すっきりしない。量子言語の観点からすると、統計学ではフィッシャーの最尤法が最も基本的な仕事である. 一言で言えば、　　 $$ \left\{\begin{array}{l} \mbox{古典力学(実在的科学観)}\cdots \textcolor{red}{\mbox{ニュートンの運動方程式}} \\ \\ \mbox{統計学(言語的科学観)}\cdots \textcolor{red}{\mbox{フィッシャーの最尤法}} \end{array}\right. $$ と考えてよい。　
しかし、信じられないことだが、統計学の本の中には、フィッシャーの最尤法に触れていないものもある。 書いてあっても、本の後半に書いてあることもある。 古典力学の本に、ニュートンの運動方程式が書かれていなかったとすれば、誰もが驚くと思うが...

このような混乱を見ると、著者は

  • まだ誰も、統計学がわかっていない
と思ってしまう。

本節では，統計学の基本である「フィッシャーの最尤法」を言語ルール1($\S$2.7:測定)の言葉遣いで表現する．


5.2.1: フィッシャーはボルンの逆を考えた

フィッシャーの最尤法の説明のために, 次の問題 から始める.

問題5.2[壺問題( =例 2.34)[フィッシャーの最尤法の簡単な例]

2つの壷 $U_1$と$U_2$がある． 壷 $U_1$には， $8$個の白球と$2$個の黒 球が入っている． また，壷 $U_2$には， $4$個の白球と$6$個の黒 球が入っていると仮定する．

次の手続き (i)と(ii)を考える.
$\mbox{(i):}$ 2つの壷(すなわち， $U_1$ または $U_2$)のうち一つ が選ばれて， カーテンの後ろに置かれている. しかし, カーテンの後ろ の壷がどちらなのか($U_1$ または $U_2$)をあなたは知らない．
$\mbox{(ii):}$ 手続き (i)で選ばれて，カーテンの後ろに置かれた壷の中から 一つの球を取り出す． そして，その球が白球であった．


ここで，次の問題:
$\mbox{(iii):}$ 手続き(i)では, どちらの壷($U_1$ または $U_2$) がカーテンの後ろに置かれたのだろうか？
を考えたい.

解答 解答は簡単で， 誰もが，「カーテンの後ろの壷は$U_1$である」 と 直感 で答えるだろう． なぜならば,

  • 「$U_1$の方が白球が多く入っていて,白球が選ばれやすい」
からである．

$\square \quad$

簡単すぎて、 「小学生でもわかる理屈」 かもしれないが, この直感の数量的表現が フィッシャーの最尤法 である．




5.2.2: フィッシャーの最尤法 in 測定理論
次の記法から始める：
記法 5.3 [${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[*]})$] 基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$ 内で定式化された 測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} $ $({\mathsf O} {{=}} (X, {\cal F}, F),$ $ S_{[\rho]}{})$ を考える．ここで，
$(A_1):$ 測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} $ $({\mathsf O} {{=}} (X, {\cal F}, F),$ $ S_{[\rho]}{})$を行う多くの場合は， 状態 $\rho \;(\in {\frak S}^p({\mathcal A}^*))$を未知と仮定することは自然である．
なぜならば
$(A_2):$ 通常は,「状態$\rho$を知る」ために測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[\rho]})$ を 行う
からである． よって, \begin{align*} \mbox{ 「測定者が，測定対象の状態 $\rho$を知らない」 } \end{align*} ということを 強調したい場合は, ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} $ $({\mathsf O} {{=}} (X, {\cal F}, F),$ $ S_{[\rho]}{})$ を
$(A_3):$
  • ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} $ $({\mathsf O} {{=}} (X, {\cal F}, F),$ $ S_{[\ast]}{})$
と記す． もうすこし一般的に書くと, $K (\subseteq {\frak S}^p({\mathcal A}^*) )$として($K$がコンパクト集合なら好ましいがそうでなくて使う), 状態が$K$に属することを知っていたときに, ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[*]}(\!(K)\!))$と記す. したがって, \begin{align*} {\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[\ast]}) = {\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[\ast]}(\!({\frak S}^p({\mathcal A}^*) )\!) ) \end{align*} と思えばよい.

この記法${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[*]})$を使って, 我々の当面の問題は，次のように書ける:
問題5.4[推定問題]

$(a):$ 測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}}({\mathsf O} {{=}} (X, {\cal F}, F), S_{[*]}(\!(K)\!) )$ により得られた測定値が $\Xi (\in {\cal F})$ に属したと仮定する． このとき，未知の状態$[*] \;(\in \Omega)$ を推定せよ．
である. または,
$(b):$ 測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}}({\mathsf O} {{=}} (X \times Y, {\cal F} \boxtimes {\cal G}, H), S_{[*]}(\!(K)\!) )$ により得られた測定値$(x,y)$が $\Xi \times Y$ $(\Xi \in {\cal F})$ に属したことがわかったとする. このとき, $y \in \Gamma $である確率 を推定せよ．

したがって，測定 は，，
$(B):$ $ \begin{cases} \mbox{表から見れば, $ \quad (観測量[{\mathsf O}]，状態[\omega(\in \Omega)]) \xrightarrow[{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}}({\mathsf O}, S_{[\delta_\omega]})]{ \quad \textcolor{red}{測定} \quad} 測定値{[x (\in X)]} $} \\ \\ \mbox{裏から見れば, $ \quad (観測量[{\mathsf O}]，測定値[x \in \Xi ( \in {\cal F})]) \xrightarrow[{\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}}({\mathsf O}, S_{[\ast]})]{ \quad \textcolor{red}{推定} \quad} 状態{[\omega (\in \Omega)]} $ } \end{cases} $
である， すなわち，
  • 推定は，測定の逆問題
と言える． したがって， 図5.4が，推定問題のイメージ図である

推定問題(問題5.4)に答えるために， フィッシャーの最尤法を 測定理論の言葉で表現する．

定理 5.5 [(問題5.4 (b)の解答): フィッシャーの最尤法(一般の場合)] 基本構造$[{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)]$内の 測定 ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}}({\mathsf O} {{=}} (X \times Y, {\cal F} \boxtimes {\cal G}, H), S_{[*]}(\!(K)\!) )$ により得られた測定値$(x,y)$が $\Xi \times Y$ $(\Xi \in {\cal F})$ に属したことがわかったとする. このとき, $y \in \Gamma $である確率$P(\Gamma)$ は, \begin{align*} P(\Gamma) = \frac{\rho_0( H(\Xi \times \Gamma ))}{\rho_0( H(\Xi \times Y ))} \quad( \forall \Gamma \in {\mathcal G} ) \end{align*} ここに, $\rho_0 \in K$は次で定まる. \begin{align} \rho_0 ( H(\Xi \times Y ) ) = \max_{\rho \in K} \rho ( H(\Xi \times Y ) ) \tag{5.7} \end{align}


証明 $\rho_1$と$\rho_2$を$K$の元として， $\rho_1(H(\Xi \times Y)) <\rho_2(H(\Xi \times Y)) $ と仮定する． 言語ルール1(測定: $\S$2.7)より，

$\mbox{(i):}$ 測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[\rho_1]})$ により得られる測定値$(x,y)$が $\Xi \times Y$に属する 確率は $\rho_1(H(\Xi \times Y)) $
$\mbox{(ii):}$ 測定${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[\rho_2]} )$ により得られる測定値$(x,y)$が $\Xi \times Y$に属する 確率は $\rho_2(H(\Xi \times Y)) $

となる． $\rho_1(H(\Xi \times Y)) <\rho_2(H(\Xi \times Y)) $ と仮定したのだから， 「(i)は(ii)より稀に起きる」と言える． よって，$[*]=\rho_1$ と推定するより， $[*]=\rho_2$ と推定した方が 理がある． したがって, (5.7)式の $\rho_0$は一理ある. ${\mathsf M}_{\overline{\mathcal A}} ({\mathsf O}, S_{[\rho_0]} )$ によって得られた測定値$(x,y)$が$\Xi \times \Gamma $に属している確率は $\rho_0 ( H( \Xi \times \Gamma ) ) $ なのだから,条件付き確率によって, 定理を得る.

$\square \quad$

定理 5.6: フィッシャーの最尤法(古典系の場合)

(i): 測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }}({\mathsf O} $ ${{=}} (X, {\cal F}, F),$ $ S_{[*]} (\!( K )\!))$ により得られた測定値 が $\Xi \;(\in {\cal F})$ に属していることがわかったとする． このとき，システム$S$の 未知の状態 $[*]$ を次のような状態 $\omega_0 \;(\in K \subseteq \Omega)$ と推定することには一理ある： \begin{align} [F(\Xi)](\omega_0) = \max_{\omega \in K} [F(\Xi)](\omega) \tag{5.8} \end{align} すなわち， $[F(\Xi)](\omega ) {{\; \leqq \;}}[F(\Xi)](\omega_0)$ $(\forall \omega \in K)$ を満たす$\omega_0 (\in K)$ と推定できる.


(ii): 測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }}({\mathsf O} $ ${{=}} (X, {\cal F}, F),$ $ S_{[*]} (\!( K )\!))$ により得られた測定値 $x_0 \;(\in {X})$ が得られたとする. 尤度関数$f(x,\omega)$を \begin{align} f(x, \omega) = \inf_{\omega_1 \in K}\Big[ \lim_{\Xi \ni x, [F(\Xi)](\omega_1) \not= 0, \Xi \to \{x\} } \frac{[F(\Xi)](\omega )}{[F(\Xi)](\omega_1 )} \Big] \tag{5.9} \end{align} と定めて, $f(x_0,\omega_0)=1$を満たす状態$\omega_0 (\in K)$と推定することは一理ある.

証明$\;\;$ 定理5.5で, \begin{align*} [{\mathcal A} \subseteq \overline{\mathcal A} \subseteq B(H)] = [C_0(\Omega ) \subseteq L^\infty (\Omega ) \subseteq B( L^2 (\Omega ) ] \end{align*} として, ${\mathsf M}_{L^\infty(\Omega ) }({\mathsf O} {{=}} (X \times Y, {\cal F} \boxtimes {\cal G}, H), S_{[*]}(\!(K)\!) )$において, \begin{align*} & 固定された{\mathsf O}_1 {{=}} (X , {\cal F}, F ), \;\; 任意の{\mathsf O}_2 {{=}} (Y, {\cal G}, G), \;\; \\ & {\mathsf O} {{=}}{\mathsf O}_1 \times {\mathsf O}_2 =(X \times Y, {\cal F} \boxtimes {\cal G}, F \times G),\;\; \rho_0 = \delta_{\omega_0} \end{align*} の場合を考える. このとき, \begin{align} P(\Gamma ) = \frac{ [H(\Xi)](\omega_0) \times [G(\Gamma)](\omega_0)}{ [H(\Xi)](\omega_0) \times [G(Y)](\omega_0)} = [ G(\Gamma )](\omega_0) \quad( \forall \Gamma \in {\mathcal G} ) \tag{5.10} \end{align} となり, しかも ${\mathsf O}_2 $は任意だから. 「$[*]=\delta_{\omega_0}( \underset{\mbox{ 同一視}}{\approx} \omega_0)$」 と推定することは 理がある．

$\square \quad$


$\fbox{注釈5.1}$ この定理の意味は「非常に難しい」と思う. 言語的解釈では, 「測定後の状態はナンセンス」なのだから,
$(\sharp_1):$ この定理5.6は,一義的にはナンセンスである.
この定理5.6の意味は, 証明を見なくてはわからない. つまり,
$(\sharp_2):$ この定理5.6で推定した$\delta_{\omega_0}$は, 式(5.10)の意味で, 辻褄が合っている
と主張しているのである. このような議論は, 量子系では重要になるが, 古典系では「面倒なだけ」なので,
$(\sharp_3):$ 「古典系では, 定理5.6の主張を単純に信じれば良い」ということまで 含めて, 定理5.6の意味なのである.
というわけで, 「フィッシャーの最尤法は間違っている」などと大人気の無いことは言わない. したがって, 古典系では, 今後も「定理5.6のような言い方」を普通にする.
解答 5.7 [ 問題5.2の解答： フィッシャーの最尤法による解答]
問題5.2の再掲 どちらの壷($U_1$ または $U_2$)がカーテンの後ろに 置かれているのかあなたは知らない.
カーテンの後ろの壷から球を一つ取り出したら，白球だった.
このとき，壷は$U_1$または$U_2$のどちらか?$\;\;$これを推定せよ．

解答

測定 ${\mathsf M}_{{L^\infty (\Omega) }} ({\mathsf O} {{=}}$ $ ( \{ 白,$ $ 黒 \},$ $ 2^{\{ 白, 黒 \} } ,$ $ F{}) , S_{ [{}{\ast}]}{})$ を考える．ここで, $C(\Omega{})$内の観測量 ${\mathsf O}_{白黒} = ( \{ 白, 黒 \}, 2^{\{ 白, 黒 \} } , F_{白黒}{})$ を次のように定義する： \begin{align} & [F_{白黒}(\{ 白 \}{})](\omega_1{})= 0.8, & \quad & [ F_{白黒}(\{ 黒 \}{})](\omega_1{})= 0.2 \nonumber \\ & [F_{白黒}(\{ 白 \}{})](\omega_2{})= 0.4, & \quad & [F_{白黒}(\{ 黒 \}{})] (\omega_2{})= 0.6 \tag{5.11} \end{align} これより, \begin{align*} & \max \{[F_{白黒}(\{白\})](\omega_1), [F_{白黒}(\{白\})](\omega_2) \} \\ = & \max \{0.8, 0.4\} = 0.8 = F_{白黒}(\{白\})](\omega_1) \end{align*} よって，定理5.6により， 状態$\omega_1$が推定できて， したがって， カーテンの後ろの壷は$U_1$ であることが推定できる．
$\square \quad$
$\fbox{注釈5.2}$ 図5.4のように， 測定の逆問題は，推定(フィッシャーの最尤法)であった． それならば， 逆問題をフィッシャーが解いたのだから，
$\quad$ フィッシャーは， 「測定」を理解していたが， 「測定」は簡単すぎて言うまでもないので， 逆問題の「推定」を提案した
と考えたくなる． もちろん， こう言ってしまうとフィクションになってしまうが，次の事実は注目に値する：
$\quad$ ボルンの「量子力学の確率解釈ボルンの量子測定理論 [(量子版)言語ルール1(式(3.15))] : (1926)」の発見
と
フィッシャーの 古典的名著「 Statistical Methods for Research Workers(1925)」 の出版時期は， ほぼ同じである．
本書の立場で言えば， 「同時代に，フィッシャーとボルンは別の分野で同じようなことを考えていた」 ということで，したがって， 「測定理論の言語ルール1($\S$2.7) は，ほとんどの科学の共通の基盤」 ということになる．